¿Unión finita de espacios polacos no es Polaco?

Question

Schwartz escribe en su libro "el Radón Medidas Arbitrarias de Espacios Topológicos", pág. 110: "Pero incluso un número finito de la unión de polacos espacios no necesitan ser polaco". La misma declaración también se pueden encontrar aquí.

¿Cómo debe esta declaración debe interpretarse? Si tengo un espacio polaco $X$ y de un número finito de la unión de polacos subespacios $X_i \subseteq X$ entonces todos ellos se $G_\delta$-subconjuntos y de su (finito) de la unión es de nuevo un $G_\delta$-subconjunto de $X$ así un espacio polaco.

Si esta declaración debe interpretarse que el polaco espacios de $X_i$ no son necesariamente contenida en un conjunto polaco espacio de $X$? Pero, ¿qué topología de hacer que se imponen en la unión? Puede que no sea un discontinuo de la unión (lo que sería de nuevo el polaco con la inconexión de la unión de la topología).

Answer 1

Ejemplo de un no metrizable espacio $S$ con dos subespacios $S_1, S_2 $, cada uno homeomorfa a la línea real $R$, que $S=S_1\cup S_2$ .$$\text {Let } S= (Q\times \{0\})\cup ((R\backslash Q)\times \{1,2\})$$ where $Q$ is the rationals. Let $T$ be the usual topology on $R$. $$\text {For } t\in T \text { let } t^*=((t\cap Q)\times \{0\})\cup ((t\backslash Q)\times \{1,2\}=(t\times \{0,1,2\})\cap S.$$ $$\text {Let } B=\{t^*\backslash u :t\in T\land ( u \text { is finite})\}.$$ I will leave it to you verify the following :(1) $B$ is a base for a topology $V$ on $S$. (2) $V$ is not a Hausdorff topology.(3)With the topology $V$ on $S$,the subspaces $$S_j=(Q\times \{0\})\cup ((R\backslash Q)\times \{j\}), \text { for } j\in \{1,2\}$$ are each homeomorphic to $R$ (por proyección sobre la primera coordinada).