Dado $\lim \limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}$, ¿por qué no puedes reducir a $\lim \limits_{x\to\infty}(1+0)^{x}$, haciendo que el resultado "$1$"? Obviamente, es erróneo, ya que el valor real es de $e$. Es porque el $\frac{1}{x}$ es todavía algo que aunque es muy pequeño? Entonces, ¿por qué es $$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{x}\right) = 0\text{?}$$
Cuál es la forma correcta de calcular el límite en este caso?
Tenga en cuenta que su argumento, si es válida, sería trabajar con la multiplicación en lugar de la exponenciación: debido a $\lim_{x\to\infty}(\frac1x)=0$ uno se $\lim_{x\to\infty}(\frac1x)x=\lim_{x\to\infty}0x=0$. Este es, por supuesto, muy mal, pero que utiliza exactamente el mismo razonamiento que se hizo. Tal vez esto le ayudará a encontrar su error.
Deje $f(x,y)=(1+y)^x$. Lo cierto es que, $f(x,0)=1$ por cada $x$, pero esto es irrelevante para el límite de $f(x,1/x)$ al $x\to+\infty$. Tenga en cuenta que también se podría considerar la posibilidad de $f(\infty,1/x)=\infty$ por cada positivo $x$, tan irrelevante como el anterior valor de $1$.
Para calcular el límite real de $f(x,1/x)$, existen varias propuestas. Uno de ellos es para ver el $\log f(x,1/x)=x\log(1+1/x)$ y para recordar que $\log(1+u)\sim u$ al $u\to0$ por lo tanto $\log f(x,1/x)\to1$$f(x,1/x)\to\mathrm e$.
Para ver por qué se $\log(1+u)\sim u$ al $u\to0$, considere la posibilidad de $g(u)=\log(1+u)$ y tenga en cuenta que $g(0)=0$ mientras $g'(u)=1/(1+u)$ por lo tanto $g'(0)=1$ y la expansión de Taylor $g(u)=g(0)+g'(0)u+o(u)$ se obtiene el resultado.
Por último, tenga en cuenta que, para todos los fijos $c$, $f(x,c/x)=(1+c/x)^x\to\mathrm e^c$ por lo tanto, uno puede darse cuenta de todos los positivos límite de $\mathrm e^c$ considerando los regímenes $x\to+\infty$, $xy\to c$. El límite de $1$ se dio cuenta de si $x\to+\infty$ mientras $xy\to0$ y el límite de $+\infty$ si $x\to+\infty$ mientras $xy\to+\infty$.
Para dar una versión más corta de lo que otras personas han dicho, que han demostrado que $$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\lim_{y\to\infty} \left(1+\frac 1y\right)^x = 1.$$ En otras palabras, dividir su límite en dos límites. Aunque esto funciona bastante a menudo que las personas tienden a creer que es siempre verdadera, de hecho no para muchos límites, como en este ejemplo demuestra!
En esta respuesta, se muestra que $$ a_k=\left(1+\frac1k\right)^k $$ es un aumento de la secuencia y $$ b_k=\left(1+\frac1k\right)^{k+1} $$ es una disminución de la secuencia. Así, para cualquier $k$, $$ a_k\le\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n\le b_k $$ Desde $a_1=2$, tenemos que $$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n\ge2 $$
En el erróneo argumento, los dos $n$s se separan; el $n$ en el denominador es enviado a $\infty$ primero, antes de la $n$ en el exponente. En el límite, ambos van al $\infty$ juntos. La disminución causada por la $n$ en el denominador es más que cancelado por el aumento causado por el $n$ en el exponente (como he señalado más arriba, $a_n$ es un aumento de la secuencia).
En la expresión $$\left(1+\frac{1}{x}\right)^x,$$ el $1+1/x$ es siempre mayor que uno. Además, el exponente va a $\infty$ y (supongo) que cualquier número mayor que uno elevado a infinito debe ser infinito. Por lo tanto, usted podría preguntar, ¿por qué no el límite infinito?
Por supuesto, la realidad es que el $1/x$ ir $0$ en la base empuja el límite hacia abajo en dirección a $1$ (observar) y que el $x$ ir $\infty$ en el exponente tira el límite de hasta el $\infty$. Hay un equilibrio entre el dos y el límite de las tierras en el centro en alguna parte, es decir, al número de $e$, un hecho explicado muchas veces en este foro.
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