Que $S_{n,k}=\sum_{S\subset[n],|S|=k}\prod_{i\in S} x_i$ sea el polinomio simétrico elemental del grado $k$ $n$ variables. Considerar este polinomio en función, en particular una función en las distribuciones de probabilidad en $n$ artículos. No es difícil ver que esta función se maximiza en la distribución uniforme. Me pregunto si hay una "convexidad"-enfoque para mostrar esto. ¿Específicamente, es $S_{n,k}$ cóncava en las distribuciones de probabilidad en $n$ artículos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
(Sé que esta pregunta es muy antigua, pero se me ocurrió para que se ejecute en él mientras buscaba otra cosa.)
Aunque no estoy seguro de si $S_{n,k}$ es cóncava en la probabilidad simple, usted puede probar el resultado que usted desea y en muchos otros similares cosas útiles el uso de Schur de la concavidad. Un boceto de la siguiente manera.
Un vector $y\in \mathbb{R}_+^n$ majorizes $x \in \mathbb{R}_+^n$ si las siguientes desigualdades son satisfechos:
$$ \sum_{j=1}^i{x_{(j)}} \leq \sum_{j=1}^i{y_{(j)}} $$ para todos los $i$, e $\sum_{i=1}^n x_i = \sum_{i=1}^n y_i$. Aquí $x_{(j)}$ $j$- ésimo más grande de coordenadas de $x$ y de manera similar para $y$. Vamos a escribir esto $x \prec y$. Para la intuición es útil saber que $x \prec y$ si y sólo si $x$ se encuentra en el casco convexo de vectores se obtiene mediante la permuting las coordenadas de $y$.
Una función es Schur-cóncava si $x \prec y \implies f(x) \geq f(y)$. Una simple condición suficiente para Schur concavidad es que $\partial f(x)/\partial x_i \ge \partial f(x)/\partial x_j$ siempre $x_i \le x_j$. Es fácil comprobar que $S_{n,k}$ satisface esta condición por cualquier $n$,$k$.
Observe que $x=(1/n, \ldots, 1/n)$ es majorized por todos los vectores $y$ en la probabilidad de simplex. Usted puede ver esto, por ejemplo, al darse cuenta de que la suma de $i$ coordenadas al azar de $y$$i/n$, por lo que seguramente la suma de los $i$ más grande de coordenadas es, al menos, como mucho. Equivalentemente, $x$ es el promedio de todas las permutaciones de $y$. Esta observación, y la Schur concavidad de $S_{n,k}$ implican $S_{n,k}(x) \ge S_{n,k}(y)$.
De hecho, $S_{n,k}^{1/k}$ es cóncava en el positivo orthant, y esto implica lo que usted desea. Este sí es un caso especial de mucho más potente de los resultados sobre la concavidad de la mezcla de volúmenes. Pero el Schur concavidad enfoque es elemental y muy ampliamente aplicable.
