"¡Cada geometría es una geometría proyectiva!" ¿Así que la geometría hiperbólica es una geometría proyectiva?

Question

El gran matemático Arthur Cayley ( https://en.wikipedia.org/wiki/Arthur_Cayley ) parece haber dicho "toda la geometría es geometría proyectiva" (lo siento, no hay una fuente exacta, probablemente está en algún lugar del programa de Felix Klein en Erlangen, https://en.wikipedia.org/wiki/Erlangen_program ).

Pero aún así, no puedo entenderlo: ¿Cómo es la geometría hiperbólica una geometría proyectiva?

En la geometría proyectiva, no existen líneas que no se intersecten. (Todas se encuentran en el infinito)

en la geometría hiperbólica por otro lado: "Dado un punto $P$ no en una línea $l$ a través del punto $P$ podemos dibujar más de una línea que no se intersecte con la línea $l$ así que al menos existen algunas líneas que no se intersectan.

en todo, más bien parecen incompatibles entre sí. (Una geometría no puede ser a la vez proyectiva e hiperbólica.)

Pero aún así, fue Cayley quien lo dijo.

Entonces, ¿cómo es la geometría hiperbólica una geometría proyectiva?

Supongo que tiene que ver con las transformaciones/reflexiones y ese tipo de cosas, pero ¿cómo se relaciona eso con la geometría hiperbólica en particular?

Answer 1

Por los comentarios que incluiste, puedo ver que estás comparando los axiomas sintéticos de las dos geometrías para ver si una es un caso especial de la otra. Por supuesto, eso está condenado a fallar porque las dos listas contienen axiomas mutuamente excluyentes sobre los paralelos (como has notado.)

La idea real es que las geometrías hiperbólicas, afines y euclidianas pueden modelarse como subconjuntos de ciertos espacios proyectivos fundados sobre espacios vectoriales con formas bilineales adecuadas. La de la geometría hiperbólica es la El modelo hiperboloide de Minkowski que realiza el plano hiperbólico sobre la superficie de un hiperboloide dentro del plano proyectivo.

Kaplansky Álgebra y geometría lineal hace un buen trabajo esbozando todo esto, aunque es un poco escaso en detalles para un puñado de temas en esta línea.

Answer 2

El llamado modelo Klein para el espacio hiperbólico da una posible respuesta.

Considere una elipse en el plano proyectivo, o equivalentemente una forma cuadrática en el espacio vectorial tridimensional con firma (+,+,-).

El interior de la elipse es un modelo para un plano hiperbólico donde las líneas son las intersecciones de las líneas proyectivas habituales con la elipse. La distancia entre el punto (A,B) puede expresarse en términos de la relación transversal de (A',A,B,B') donde A',B' son el punto de intersección de E con la línea proyectiva que pasa por A y B.

El subgrupo del grupo de transformaciones proyectivas que conserva esta elipse (esta forma cuadrática) es exactamente el grupo de isometría del interior de la elipse dotado de esta distancia hiperbólica.

El mismo modelo puede generalizarse en cualquier dimensión, con una forma de firma cuádruple en lugar de elíptica y cuadrática (n,1).

En pocas palabras $PSO(n,1) \subset PSL(n+1, \bf R)$ es el subgrupo de transformaciones proyectivas del espacio proyectivo de la dimensión $n$ que conserva el interior un cuadriculado, este interior (dotado de líneas usuales) es un modelo del espacio hiperbólico.

Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Beltrami%E2%80%93Klein_model y referencia en el mismo).