Aplicaciones de las funciones generadoras a la teoría de los números

Question

Estoy familiarizado (al menos a un nivel superficial) con el amplio papel que desempeñan las funciones generadoras en la teoría de las particiones. ¿Cuáles son otras aplicaciones destacadas de las funciones generadoras en la teoría de los números?

Answer 1

Esta respuesta no es en absoluto exhaustiva, es presumiblemente apenas un inicio para su pregunta.

Teniendo en cuenta la teoría de las particiones como parte de teoría de los números aditivos que utiliza con bastante frecuencia métodos analíticos, podemos decir que las funciones generadoras son un omnipresente herramienta en la teoría analítica de los números y no sólo dentro de la teoría de las particiones. Para respaldar esta afirmación, me gusta citar la obra de D.J.Newman Teoría analítica de los números .

De la Teoría Analítica de Números de D.J.Newman, capítulo I: La idea de la teoría analítica de los números

Lo más intrigante de la Teoría Analítica de Números (el uso de Análisis o teoría de la función en la teoría de los números) es su propia existencia. ¿Cómo se pueden utilizar las propiedades de las funciones de valor continuo para determinar las propiedades de los elementos más discretos, los enteros? ¿Funciones analíticas? ¿Qué tiene que ver la diferenciabilidad con el conteo? El asombro aumenta aún más cuando nos enteramos de que los ceros complejos de una determinada función analítica son el herramientas básicas en la investigación de los primos. La respuesta a todo este desconcierto la dan las dos palabras funciones generadoras .

El siguiente capítulo II trata de las funciones de partición, pero luego siguen (además de otros) capítulos sobre la Problema de Waring , sobre $L$ -Serie y el teorema del número primo .

En teoría de los números multiplicativos Las funciones generadoras tienen la forma de Serie de Dirichlet para responder a las preguntas utilizando métodos de tamizado , preguntas sobre funciones aritméticas o el distribución de los primos por nombrar sólo algunas áreas.

En mi trabajo a veces tengo que ver con la generación de funciones en criptografía que podría, junto con el uso de funciones generadoras en teoría numérica computacional también se considera parte de la teoría de los números.

Answer 2

Se puede ver $q$ -expansiones de formas modulares como una especie de función generadora. Contienen información sobre muchos objetos de la teoría de los números, como particiones, sumas de divisores, recuento de puntos en curvas elípticas, números de representación de formas cuadráticas, números de clase, etc.