En su tratado "Una Introducción a Lévy y Talador de Procesos" (arXiv enlace), Prof. Dr. René Schilling da una breve y aparentemente sencilla prueba de la afirmación de que un continuo proceso de Lévy es integrable (Lema 8.2 en la p. 50). Más precisamente, el reclamo va como sigue.
Lema Deje $(X_t)_{t\geq0}$ ser un proceso de Lévy con càdlàg recorridos que $|\Delta X_t(\omega)|:=|X_t-\lim_{s\uparrow t} X_s|\leq c$ todos los $t\geq 0$ y algunas constantes $c>0$. A continuación, $E(|X_t|^p)<\infty$ todos los $p\geq 0$.
La prueba comienza de la siguiente manera.
La prueba Deje $\mathcal{F}^X_t:=\sigma(X_s,s\leq t)$ y definir los tiempos de parada $$ \tau_0:=0,\hspace{1cm} \tau_n:=\inf\left\{t>\tau_{n-1} : |X_t-X_{\tau_{n-1}}|\geq c\right\}. $$ Desde $X$ ha càdlàg caminos, $\tau_0<\tau_1<\tau_2<\cdots$. Por otra parte, por el fuerte de Markov de la propiedad, $\tau_n-\tau_{n-1}\sim\tau_1$$\tau_n-\tau_{n-1}\perp\mathcal{F}^X_{\tau_{n-1}}$, es decir, $(\tau_n-\tau_{n-1})_{n\in\mathbb{N}}$ es un alcoholímetro de la secuencia.
El fuerte de Markov de propiedad contemplado en la prueba de ello es el siguiente teorema (Teorema 4.12 en la p. 29):
Teorema Deje $X$ ser un proceso de Lévy en $\mathbb{R}^d$ y establezca $Y:=(X_{t+\tau}-X_\tau)_{t\geq0}$ para algunos.s. finito de tiempo de paro $\tau$. A continuación, $Y$ es de nuevo un proceso de Lévy satisfactoria
a) $Y\perp(X_r)_{r\leq\tau}$, es decir,$\mathcal{F}^Y_\infty\perp\mathcal{F}^X_{\tau^+}:=\left\{F\in\mathcal{F}^X_\infty : F\cap\{\tau<t\}\in\mathcal{F}^X_t, \forall t\geq 0\right\}$.
b) $Y\sim X$, es decir, $X$ $Y$ tienen las mismas distribuciones finito dimensionales.
Por lo que el fuerte de Markov de la propiedad solo puede ser aplicado en el lema si $\tau_n$ es un un.s. finito de tiempo de paro, pero ¿por qué debería ser así?
Así que supongo, para evitar de esta advertencia, podemos ajustar la probabilidad subyacentes espacio y considerar sólo los $\omega$'s para que $\bigwedge_{k=1}^\infty \tau_k(\omega)\neq\infty$. ¿Por qué la ajusta, por proceso $X$ siendo Lévy, como se requiere en el fin de aplicar el fuerte de Markov de la propiedad?
