¿Puedo usar convergencia dominada de Lebesgue?

Question

Calcular los siguientes:

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\infty} \exp(−nx(\sin(x))^2)\,dx$$

mi idea era usar $f_n(x) = \exp(−nx(\sin(x))^2) < 1$ pero no es integrable en $1$ $(0,\infty)$. También creo que es posible que Teorema de convergencia dominada no puede utilizarse para ese problema. ¿Alguien me puede dar una pista sobre cómo solucionar esto? Gracias.

Answer 1

Que $f_k(x) = \exp(-kx \sin^2 x)$. Se muestra que el $f_k$ no es integrable en $[0,+\infty)$.

Tenemos $$\begin{align*} \int_{\pi/2}^{+\infty} f_k(x) \, dx &= \sum_{n \geq 1} \int_{n\pi-\pi/2}^{n\pi +\pi/2} \exp(-kx \sin^2 x) \, dx \\ &= \sum_{n \geq 1} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \exp[-k(x + n\pi)\sin^2 x] \, dx \\ &=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left( \sum_{n \geq 1} \exp[-k(x + n\pi)\sin^2 x] \right) \, dx \\ &=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \exp(-kx \sin^2 x) \sum_{n \geq 1} \exp(-k\pi \sin^2 x)^n \, dx \\ &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\exp(-k(x+\pi) \sin^2 x)}{1 - \exp(-k\pi \sin^2 x)} \, dx \\ &\geq \exp(-3k\pi/2)\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{dx}{1 - \exp(-k\pi \sin^2 x)}. \end{align*} $$

Utilizamos el teorema de convergencia monótona para la tercera línea. El integrando en la última integral es equivalente a $\frac{1}{k\pi x^2}$ $x \to 0$. Por lo tanto la integral es divergente.

Answer 2

Sugerencia: para el número entero positivo $k$, si $k\pi - 1/\sqrt{k} < x < k \pi$ tenemos $x\sin(x)^2 < \pi$, así que...

Answer 3

En primer lugar, romper el integral en $\pi$ piezas anchas. $$\begin{align} &\int_0^\infty\exp(−nx\sin^2(x))\,\mathrm{d}x\\ &=\int_0^{\pi/2}\exp(−nx\sin^2(x))\,\mathrm{d}x +\sum_{k=1}^\infty\int_{-\pi/2+k\pi}^{\pi/2+k\pi}\exp(−nx\sin^2(x))\,\mathrm{d}x\\ &=\int_0^{\pi/2}\exp(−nx\sin^2(x))\,\mathrm{d}x +\sum_{k=1}^\infty\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\exp(−n(x+k\pi)\sin^2(x))\,\mathrm{d}x\tag{1} \end {Alinee el} $$ luego estimar cada pieza. $$\begin{align} \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\exp(−n(x+k\pi)\sin^2(x))\,\mathrm{d}x &\ge\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\exp\left(−n\left(k+\tfrac12\right)\pi x^2\right)\,\mathrm{d}x\\ &=\frac1{\small\sqrt{n\left(k+\tfrac12\right)}}\int_{-{\large\frac\pi2}{\small\sqrt{n\left(k+\tfrac12\right)}}}^{{\large\frac\pi2}{\small\sqrt{n\left(k+\tfrac12\right)}}}\exp\left(−\pi x^2\right)\,\mathrm{d}x\\ &\sim\frac1{\small\sqrt{n\left(k+\tfrac12\right)}}\tag{2} \end {Alinee el} $$ desde $$ \sum_{k=1}^\infty\frac1{\small\sqrt{k+\tfrac12}}\tag{3} $$ diverge, $(1)$ y $(2)$ mostrar que \int_0^\infty\exp(−nx\sin^2(x) $$) x\tag \,\mathrm {d} {4} $$ también diverge.

Por lo tanto, ya que la función más pequeño que domina la secuencia $$ \exp(−x\sin^2(x)) \tag {5} $$ y su integral diverge, dominado de la convergencia no se aplica.