construcción geométrica euclidiana

Question

esta es la pregunta 42 en el libro rojo de problemas matemáticos por k. s. williams y k. hardy.

deje que abcd sea un cuadrilátero convexo. sea p el punto fuera de la abcd tal que $|ap| = |pb|$ $\angle apb = 90^\circ.$ puntos $q, r, s$ se define de forma similar. demostrar que las líneas de $pr$ $qs$ son de igual longitud y perpendiculares.

usted puede hacer un modelo físico cortando cuatro isoscles derecho de triángulos de diferentes longitudes a partir de un rectángulo de la tarjeta. los extendió sobre una mesa con el ángulo recto en el exterior. el resultado saciado en que el problema puede ser visto a celebrar.

la solución en el uso de la libreta de números complejos y me puede resolver mediante el coseno de la regla. me pregunto si hay una más "geométrica" de la solución con tan poco como la computación como sea posible.

Answer 1

Creo que usando números complejos es la cosa más geométrica a intentar, porque multiplicación $i$ le da una rotación por $90^\circ$ gratis, es decir, sin elegir una base. De hecho, tratar todos los puntos que ocurren como números complejos uno inmediatamente obtiene $s-q=i(r-p)$ sin escuadra ni trigonometría que entran en el juego.