Subgrupos cíclicos finitos de $GL_{2} (\mathbb{Z})$

Question

¿Cómo podríamos demostrar que cualquier elemento de $GL_2(\mathbb{Z})$ de orden finito tiene orden 1, 2, 3, 4 o 6?

Soy consciente de la prueba suministrada aquí en este enlace: https://www.maa.org/sites/default/files/George_Mackiw20823.pdf. Pero soy curioso si hay otras pruebas.

Answer 1

Supongamos que $A$ ha finito de orden en ${\rm GL}(2,\Bbb Q)$. Entonces sabemos que no es $k$ tal que $X^k-1$ aniquila $A$. Si $m_A$ es el polinomio mínimo de $A$, $\deg m_A\leqslant 2$. Por otra parte, $m_A$ divide $X^k-1$ $m_A$ tiene como irreductible de los factores de la irreductible factores de $X^k-1$. Ya que todo es monic, irreductibilidad $\Bbb Q$ es la misma irreductibilidad $\Bbb Z$. De curso $X^k-1$ factores en la cyclotomic polinomios, que son irreductibles$^{1}$. Nos aslo saber el $n$-th cyclotomic polinomio tiene grado $\varphi(n)$. Y es que los $\varphi(1)=1,\varphi(2)=1,\varphi(3)=2,\varphi(4)=2,\varphi(6)=2$, pero cualquier otro número no ha $\varphi(n)$ en la mayoría de las $2$.

Por el bien de ella, aquí están (invertible) de matrices de más de $\Bbb Z$ de las órdenes de $2,3,4,6$

$$\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-2&-3\\1&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2&1\\-5&-2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3&-7\\1&-2\end{pmatrix}$$

---

1. Aquí usted puede encontrar varias pruebas.

Answer 2

Suministramos $2$ pruebas diferentes, la primera de las cuales es esencialmente el que Pedro ya había publicado.

Prueba #1.

Deje $A$ $2 \times 2$ matriz de enteros con $A^n = I$. Si $\lambda$ es un autovalor de a$A$,$\lambda^n = 1$. Una matriz de $A$ finito de orden es diagonalizable, así que si sus autovalores satisfacer $\lambda^n = 1$, $A$ orden $n$. Nos muestran que si $\lambda$ es un valor propio de una matriz de enteros, y si para algunos $N$, $\lambda^N = 1$, a continuación, $\lambda^n = 1$ con $n = 1$, $2$, $3$, $4$, o $6$.

Un autovalor $\lambda$ también es una raíz del polinomio característico de a $A$, cuadrática, polinómica con coeficientes enteros. Así que el grado de $\lambda$ $\mathbb{Q}$ es en la mayoría de las $2$.

Supongamos que $\lambda \neq \pm 1$. Dejamos $\alpha = \lambda + \lambda^{-1}$, y nos fijamos en la cadena de campos$$\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\alpha) \subset \mathbb{Q}(\lambda).$$Then $\alfa$ is real, but $\lambda$ is not real. Therefore $\lambda \noen \mathbb{Q}(\alpha)$. Since $[\mathbb{Q}(\lambda):\mathbb{Q}] = 2$, it follows that $[\mathbb{Q}(\lambda):\mathbb{Q}(\alpha)] = 2$ and $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] = 1$. So $\alpha = \lambda + \lambda^{-1}$ es un número racional.

Nos damos cuenta de que $\lambda$ es una raíz del polinomio $q(x) = x^2 + \alpha x + 1$, lo que ha racional de los coeficientes, y desde $\lambda$ no es real, $q$ es irreductible. Pero $\lambda$ también es una raíz del polinomio entero $x^n - 1$.

La irreductible factores de $\mathbb{Q}[x]$ de un monic entero polinomio tiene coeficientes enteros. Por lo tanto, los coeficientes de $q$ son enteros. A continuación, $\alpha = \lambda + \lambda^{-1}$ es un número entero. Desde $\lambda$ es sobre el círculo unidad y no es $\pm1$, $\alpha$ puede ser $-1$, $0$, o $1$. A continuación, $\lambda$ $\zeta_3^{\pm1}$, $\zeta_4^{\pm1}$, o $\zeta_6^{\pm1}$.

Prueba #2.

Deje $G$ ser el grupo cíclico generado por una matriz de $A$ orden $n$$GL_2(\mathbb{Z})$. Debido a $A$ ha entero entradas, lleva el entramado $L = \mathbb{Z}^2$ a sí mismo. Construimos una $G$-invariante, positiva definida, de forma simétrica $\langle\text{ }\,,\,\rangle$ $\mathbb{R}^2$ promediando el producto escalar: decir $$\langle X, Y\rangle = X^\text{T}Y + (AX)^\text{T}(AY) + \dots + (A^{n-1}X)^\text{T}(A^{n-1}Y) = X^\text{T}MY,$$where$$M = I + A^\text{T}A + \left(A^2\right)^\text{T}A^2 + \dots + \left(A^{n-1}\right)^\text{T}A^{n-1}.$$We change basis to an orthonormal basis for this norm, using a real matrix $P$. In the new coordinates, the lattice $L$ becomes $L' = P^{-1}L'$, the form becomes dot product $X^\text{T}Y$, and the matrix of the operator $$ becomes $A' = P^{-1}AP$. Since $\langle\text{ }\,,\,\rangle$ is $$-invariant, the dot product is $'$-invariant. So $'$ is an orthogonal matrix. And of course, if $\left (\right)^n = I$ because $^n = I$. Now we have an orthogonal matrix $'$ of order $n$ that carries a lattice $L'$ to itself. The Crystallographic Restriction tells us that $n = 1$, $2$, $3$, $4$, or $6$.