Pregunta de conjuntos, sin ton ' lema s

Question

¿Hay alguna prueba $|P(A)|=|P(B)| \Longrightarrow |A|=|B|$ que no se basa en el lema de Zorn (que significa, sin utilizar el hecho de que el $|A|\neq|B| \Longrightarrow |A|<|B|$ o $|A|>|B|$)?

¡Gracias!

Answer 1

Incluso con Zorn lema, uno no puede (bajo la suposición habitual de que ZF es consistente) probar que si dos sistemas de energía tienen la misma cardinalidad, entonces los conjuntos tienen la misma cardinalidad.

Answer 2

Uno no puede probar que $|\mathcal P(A)|=|\mathcal P(B)|$ implica $|A|=|B|$, incluso suponiendo que el lema de Zorn (o, equivalentemente, el axioma de elección).

Es consistente con la elección (es decir, el lema de Zorn) que $2^{\aleph_0}=\aleph_{\omega+1}$ y, para cada ordinal $\alpha$ $0$ o límite y, para cada número natural $n$,$2^{\aleph_{\alpha+n+1}}=\aleph_{\alpha+\omega+1}$. Esto nos da que para cualquier infinitas $\kappa$ hay infinitamente muchos tamaños diferentes, $\lambda$ tal que $2^{\kappa^+}=2^\lambda$. Por ejemplo, esto nos da que $\mathcal P(\aleph_0),\mathcal P(\aleph_1),\dots,\mathcal P(\aleph_\omega)$ todos tienen el mismo tamaño de $\aleph_{\omega+1}$, mientras que $\mathcal P(\aleph_{\omega+1}),\mathcal P(\aleph_{\omega+2}),\dots,\mathcal P(\aleph_{\omega+\omega})$ todos tienen el mismo tamaño de $\aleph_{\omega+\omega+1}$, etc.

Del mismo modo, también se puede arreglar eso para cualquier infinitas $\kappa$ hay diferentes $\lambda$$2^\kappa=2^\lambda$.

Por otro lado, para cualquier entero positivo $n$, es consistente con la elección que para cualquier infinita cardenal $\kappa$, $2^\kappa=\kappa^{+n}$ ($n$- th sucesor de $\kappa$). En este caso, tenemos $|\mathcal P(A)|=|\mathcal P(B)|$ implica $|A|=|B|$. El caso de $n=1$$\mathsf{GCH}$.

(Pequeña nota técnica: Para $n>1$, el resultado en el párrafo anterior requiere de grandes cardenales. Podemos evitar esta exigiendo, por ejemplo, que si $\kappa$ es un límite cardenal, a continuación,$2^\kappa=\kappa^+$, mientras que si se trata de un sucesor, el cardenal, a continuación,$2^\kappa=\kappa^{++}$. Esto puede lograrse mediante un estándar de Easton obligando a más de un modelo de $\mathsf{GCH}$, y no hay grandes cardenales son necesarios.)

Tal vez usted está interesado en saber si hay una condición que no implica la elección sino que implica su declaración o, más directamente, si su estado de cuenta ya implica elección. Esto está abierto. Se preguntó MO, aquí. La declaración (que Asaf Karagila llama a $\mathsf{ICF}$, inyectiva continuidad de la función) implica $\mathsf{dBS}$, el doble de Bernstein-Schroder teorema, en el que he estado interesado en mí mismo. Esta consecuencia directa de la elección de miembros que para cualquiera de los dos conjuntos de $A$$B$, si hay un surjection de $A$ a $B$ y un surjection de $B$ a $A$, $A$ $B$ tienen el mismo tamaño. También está abierto si $\mathsf{dBS}$ implica elección, ver aquí.

Los dos enlaces anteriores sobre todos los resultados que soy consciente de relacionarse $\mathsf{ICF}$ y la elección. Como Asaf señala en los comentarios, $\mathsf{ICF}$ también ha sido llamado a $\mathsf{WPH}$, el poder débil hipótesis, y también fue considerado por Tarski. La referencia

Azriel Lévy. El Fraenkel-Mostowski método para la independencia de las pruebas de la teoría de conjuntos, en La Teoría de Modelos, J. Addison, L. Henkin, y A. Tarski, eds., El norte de Holanda, Ámsterdam, 1965, pp 135-157,

indica que Tarski ya había observado que $\mathsf{ICF}$ implica $\mathsf{dBS}$. Lévy del papel también se pregunta si $\mathsf{dSB}$ implica elección.

(En realidad, parece que tu pregunta ya había sido pedido en este sitio. Ver aquí y aquí.)