¿Qué es el coeficiente de $x^{18}$ en la expansión de $(x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6})^{4}$?

Question

¿Cómo abordar este tipo de cuestiones en general?

1. ¿Cómo usar el teorema del binomio?
2. ¿Cómo utilizar teorema multinomial?
3. ¿Hay cualquier otros argumentos combinatorios para resolver este tipo de pregunta?

Answer 1

Realmente buscamos el coeficiente de $x^{14}$, teniendo un $x$ de cada término en la función generadora. Observar entonces que:

$(1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5}) = \frac{1-x^{6}}{1-x}$

Ahora esto subir al cuarto para obtener: $f(x) = \left(\frac{1-x^{6}}{1-x}\right)^{4}$.

Tenemos las identidades:

$$(1-x^{m})^{n} = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} (-1)^{i} x^{mi}$$

Y:

$$\frac{1}{(1-x)^{n}} = \sum_{i=0}^{\infty} \binom{i + n - 1}{i} x^{i}$$

Así ampliamos el numerador y denominador, escoger términos del $x^{14}$. Tenga en cuenta que estamos multiplicando la expansión del numerador por la expansión del denominador.

$$\binom{14 + 4 - 1}{14}x^{14} - \binom{4}{1} \binom{8 + 4 - 1}{8} x^{14} + \binom{4}{2} \binom{2 + 4 - 1}{2} x^{14}$$

Answer 2

Sugerencia: el coeficiente de $x^{18}$ debe ser exactamente el número de particiones $(i, j, k, l)$ 18 $1 \leq i,j,k,l \leq 6$.