Ecuación de intersecciones cilindro-ray

Question

He encontrado un artículo que implican infinito cilindro-ray intersecciones, y no sé cómo se desarrollan esta ecuación:

$$(q - p_a - (v_a, q - p_a)v_a)^2 - r^2 = 0$$

En el final de la primera página cito:

Infinito cilindro a lo largo de $y$-eje de radio $r$ tiene por ecuación $x^2 + z^2 - r^2 = 0$. La ecuación de una más general cilindro de radio $r$ orientado a lo largo de una línea de $p_a + v_at$:

$(q - p_a - (v_a, q - p_a)v_a)^2 - r^2 = 0$ donde $q = (x,y,z)$ es un punto en el cilindro.

Answer 1

Todo esto puede ser hecho para trabajar bajo el supuesto de que $v_a$ es un vector unitario, y dudo que se sostiene a menos que tal es el caso; por lo que asumo $\Vert v_a \Vert = 1$. Además, después de haber examinado el vinculado PDF y editar la ecuación (que es ahora) $(q-p_a-(v_a,q-p_a)v_a)^2-r^2=0$ en consecuencia, creo que una explicación puede ser la próxima:

Para cualquier $q$ en el cilindro, el vector $(v_a,q-p_a)v_a$ es la proyección de $q - p_a$ a la de una dimensión del subespacio generado por el vector unitario $v_a$. El vector $q-p_a-(v_a,q-p_a)v_a$ es así ortogonal a $v_a$; de hecho, hemos

$(v_a, q-p_a-(v_a,q-p_a)v_a) = (v_a, q - p_a) - (v_a, q - p_a)(v_a, v_a)$ $= (v_a, q - p_a) - (v_a, q - p_a) = 0 \tag{1}$

desde $(v_a, v_a) = \Vert v_a \Vert^2 = 1$. Ahora considere el triángulo de vectores formado por los puntos de $p_a, \, p_a + (v_a, q - p_a)v_a, \, q$; a los lados de este triángulo puede ser llevado a ser $q - p_a$, $p_a + (v_a, q - p_a)v_a - p_a = (v_a, q - p_a)v_a$, y $q - (p_a + (v_a, q - p_a)v_a) = q - p_a - (v_a, q - p_a)v_a$. Además, $q - p_a = q - p_a - (v_a, q - p_a)v_a + (v_a, q - p_a)v_a$, y dado que, como hemos visto, $q - p_a - (v_a, q - p_a)v_a$ es ortogonal a $v_a$, también es ortogonal a $(v_a, q - p_a)v_a$. Por lo tanto $q - p_a - (v_a, q - p_a)v_a$ $(v_a, q - p_a)v_a$ forma de dos lados de un (vector) triángulo rectángulo, el hypoteneuse de que es $q - p_a$, ya que es opuesto al ángulo recto entre $q - p_a - (v_a, q - p_a)v_a$, $(v_a, q - p_a)v_a$. Desde $q - p_a - (v_a, q - p_a)v_a$ es normal a la línea de $p_a + tv_a$, y como un vector que se extiende desde el punto de $p_a + (v_a, q - p_a)v_a$$q$, su magnitud debe ser igual a la distancia normal entre el $q$ y la línea de $p_a + tv_a$,$r$, el radio del cilindro. Por lo tanto, $q$ satisface la ecuación

$(q-p_a-(v_a,q-p_a)v_a)^2-r^2=0. \tag{2}$

Espero que esto ayude. ¡Hasta la vista,

y como siempre,

Fiat Lux!!!