Deje $R$ ser un anillo, $I$ un ideal. De acuerdo a Atiyah-Macdonald, si $R$ es Noetherian, entonces, tenemos $\hat{I}=\hat{R}I$ donde hat designa $I$-ádico de la finalización de $R$ y (supongo) $\hat{I}$ denota la inducida por la finalización en $I$. No entiendo cómo, para llegar a esta igualdad y por qué la Noetherian hipótesis es necesario. Esencialmente $\hat{I}$ se compone de clases de equivalencia de Cauchy secuencias con elementos en $I$. Cualquier elemento de $\hat{R}I$ es una clase de equivalencia de Cauchy secuencias que consta de elementos de $I$. No veo cómo cada secuencia de Cauchy con elementos en $I$ es equivalente a la que se puede escribir como una suma de productos de una secuencia de Cauchy y una constante secuencia de un elemento de $I$.
Respuesta
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Si $R$ es noetheriano, entonces $I$ debe ser finitamente generado, decir $I = \langle p_1,\ldots, p_n\rangle$. Así que si un elemento de $\hat{I}$ está representado por una suma de $x = i_1 + i_2 + \cdots$, reescritura $i_m = p_1 i_{m1} + \cdots + p_n i_{mn}$ nos podemos reescribir esto como $$x = p_1 \sum_{k_1}i_{1k} + \cdots + p_n\sum_{k_n}i_{nk} \in \hat{R}I$ $ que es lo que querías.
