Ejemplo de un Grupo abeliano y finito (excepto el $e$) y los elementos de orden infinito.

Question

Ejercicio 7: Mostrar que los elementos de orden finito en una Grupo abeliano $G$ forma un subgrupo de $G$

Sólo resolví este ejercicio pero no puedo encontrar ejemplo de un Grupo abeliano y finito (excepto el $e$) y los elementos de orden infinito. ¿Hay más bien conocido de estos grupos?

Para el grupo no abeliano con otro grupo de propiedades de matrices que conozco.

Answer 1

El grupo multiplicativo de las unidades de $U$ $(\mathbb{C},+,\cdot)$ es un grupo abelian. De los números reales en $U$, $-1$ tiene orden de $2$, y además de a $e=1$, todos los demás números reales tendrá infinitas orden. También, $i \in U$ $i$ es de orden 4.

$-1$ $i$ son ambos ejemplos de $2^{nd}$ $4^{th}$ raíces de la unidad, respectivamente. Es decir, son soluciones a$z^2=1$$z^4=1$, respectivamente.

En general, una $n^{th}$ raíz de la unidad en la $\mathbb{C}$ es un número complejo $z$ satisfacción $z^n=1$. Para cada $n \in \mathbb{N}$ hay $n$ distintos números complejos que satisfacen $z^n=1$, $z=1$ siendo una solución para cada $n \in \mathbb{N}$.

Answer 2

¿El grupo $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}$? $(1,0)$ tiene orden finito y $(1,1)$ tiene orden infinito.

Answer 3

Cualquier infinito Grupo abeliano finitamente generado que no es un grupo libre satisfará esta propiedad. Esto se deduce el teorema de clasificación, ya que dicho grupo tendrá la forma

$\mathbb{Z}_{m_{1}}\times\cdots\mathbb{Z}_{m_{r}}\times\mathbb{Z}^{n}$

algunos $m_{1},\ldots,m_{r}\geq 2$ y algunos $n\geq 1$ y $m_{1}\vert m_{2}\vert\cdots\vert m_{r}$.

El ejemplo $\mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}$ dado por pritam arriba es la más fácil ejemplo y es un gran para mostrar por qué se cumple la propiedad dada.