Buscar entradas diagrama comutativo.

Question

Suponga que el siguiente diagrama de abelian de los grupos ha exacto de filas y columnas. Se puede determinar la falta de entradas y mapas? Corto razonamiento.

Esto es lo que he intentado:

Por ejemplo, cuando yo deje $a$ ser dado por $t \mapsto 4t$ $b$ ser dado por $t \mapsto t/6$. He definido todas las otras funciones similares en formas tales que todas las filas y todas las columnas se convirtió exacta, sin embargo me perdí la parte crucial de que el diagrama debe ser conmutativa y todo falló. Necesito algunos consejos sobre esto, por favor.

Answer 1

Bueno no sé cómo hacer diagramas conmutativos en este sitio, pero usted sabe que la segunda fila, tercera columna debe tener $4$ elementos, ya que está entre los dos conjuntos de dos elementos, por lo que es $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$ o $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$. Desde $\mathbb{Z}$ debe surject sobre él desde la izquierda, que sólo puede ser $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$.

De esto sabemos que la segunda fila, primera columna debe ser $4\mathbb{Z}$, ya que es el núcleo del mapa $\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}: x \rightarrow x \mod(4)$. El natural de mapa de $4\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ toma un elemento $x \rightarrow x \mod(12)$, por lo que en la primera columna, primera fila debemos tener $12\mathbb{Z}$.

Ya que tenemos una secuencia exacta $0 \rightarrow 12\mathbb{Z} \rightarrow ? \rightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, por la misma lógica que hemos estado utilizando llegamos $6\mathbb{Z}$ en la primera fila, segunda columna. Por último tenemos el núcleo de la inclusión del mapa de $6 \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ en la tercera fila, segunda columna, que es $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$.