¿Si $f:S^2\to S^2$ es homotópicas a la identidad tiene un punto fijo?

Question

Pregunta: Vamos a $f:S^2\to S^2$ ser un mapa continuo que es homotópica a la identidad. Qué $f$ tienen necesariamente un punto fijo?

Pensé acerca de esta cuestión, después de aprender la prueba de Punto Fijo de Brouwer con el Teorema de de Rham cohomology. Esperaba ser capaz de demostrar la afirmativa con otra prueba similar, pero todos mis intentos fallidos.

Mi intuición de que debe ser verdad comenzó a partir de dos hechos:

1. Si $f$ es una rotación de la esfera (es decir,$f\in SO(3)$), a continuación, $f$ tiene dos puntos fijos.
2. El Peludo Teorema De La Bola. Intuitivamente, si $f$ es homotópica a la identidad podemos imaginar un flujo de cada una de las $x\in S^2$ a su imagen $f(x)$. Este flujo debe tener un punto fijo $x_0$, lo que significa que $f(x_0)=x_0$.

Answer 1

Si una función $f:S^2\to S^2$ no tiene un punto fijo, es homotópicas al mapa antipodal. Usted puede construir una homotopía explícita $$F(x,t)=\frac{(1-t)f(x)-tx}{\|(1-t)f(x)-tx\|}$ $ el mapa antipodal de $S^2$ no es homotópicas a la identidad porque es una composición de tres reflexiones.