¿Por qué asumes que el vector momento angular de una parte superior seguirá siempre su eje de rotación?

Question

Mi favorito de la física 101 libro de texto (Giancoli) explica la precesión en términos de un trompo, cuyo eje está inclinado respecto a la vertical.

La forma en que el libro explica las cosas, $L$ (momento angular) puntos a lo largo de la parte superior del eje y $\operatorname{d}\!L$ es perpendiculares y horizontales a $L$, señalando en la dirección de la precesión (en su figura, $\operatorname{d}\!L$ termina apuntando a la derecha). Luego pasa a estado que desde $\operatorname{d}\!L$ es siempre perpendicular a $L$, $L$'s magnitud es constante, y sólo sus cambios de dirección. Finalmente, se concluye:

Desde $L$ puntos a lo largo del eje de la parte superior, vemos que este eje se mueve a la derecha... (Giancoli, 2008)

Yo no entiendo por qué se puede suponer que siempre será cierto que $L$ y el eje de la parte superior siempre va a estar en la parte superior de uno al otro.

El libro no trata de esto, pero hay sólo una manera en la que la parte superior se puede mover con el fin de producir el necesario movimiento del vector momento angular? Si ese es el caso, entonces supongo que tendría más sentido? No lo sé. Ayudarme a salir de aquí a la gente.

(Sé que hay una desviación en $L$ debido a la precesión de movimiento en sí, pero otra de las hipótesis es que esto es irrelevante, siempre y cuando la parte superior está girando lo suficientemente rápido.)

Answer 1

Esencialmente, esto es debido a que la parte superior es un cuerpo rígido con un bien definido eje de simetría.

Examinar la definición de momento angular:

$$ \vec{L} = \int_V dV \left( \vec{r} \times \vec{v} \right) \rho(\vec{r}) $$

La elección de un (instantáneamente) sistema de coordenadas cilíndrico con $\vec{z}$ coincidente con el eje de la parte superior, podemos ver que $\vec{v}$ es siempre en el $\phi$ dirección de modo que el momento angular debido a la hilatura siempre apunta en la dirección azimutal.

$$ \vec{L} = \int_V dV r^2 \omega \left( \hat{r} \times \hat{\phi} \right) \rho(\vec{r}) = -\omega \int_V dV r^2 \rho(\vec{r}) \hat{\theta} $$

tomando ventaja de la simetría de la parte superior, nos encontramos con que sólo el $\hat{z}$ componente contribuye.

$$ \vec{L} = -\omega \hat{z} \int_V dV r^2 \sin^2(\theta) \rho(\vec{r}) $$

Ya se ha identificado la primera corrección, y como el libro dice que si la parte superior gira lo suficientemente rápido (y precesses lo suficientemente despacio) nos podemos descuidar.