Espacio delimitado funciones continuas es completa

Question

Tengo notas de la conferencia con la reclamación $(C_b(X), \|\cdot\|_\infty)$, el espacio delimitado funciones continuas con el sup norma es completa.

El profesor, que luego demostró dos cosas, (i) $f(x) = \lim f_n (x)$ es limitado y (ii) que $\lim f_n \in \mathbb{R}$.

No entiendo por qué no es suficiente con que $f$ está acotada. Creo que el límite de una sucesión de funciones continuas es continua y, a continuación, si $f$ es acotado, es en $C_b(X)$. Entonces, ¿qué es esto $\lim f_n \in \mathbb{R}$? Muchas gracias por tu ayuda.

Answer 1

Deje $(B(X), \|\cdot\|_\infty)$ ser el espacio delimitado con un valor real de las funciones con el sup norma. Este espacio está completo.

Prueba: Nos dicen que si $f_n$ es una secuencia de Cauchy en $\|\cdot\|_\infty$, entonces su pointwise límite es su límite y en $B(X)$, es decir, es un valor real delimitada la función:

Desde fijo $x$, $f_n(x)$ es una secuencia de Cauchy en $\mathbb R$ y desde $\mathbb R$ es completar su límite está en $\mathbb R$ y, por tanto, la pointwise límite de $f(x) = \lim_{n \to \infty } f_n(x)$ es un valor real de la función. Es también limitada: Vamos a $N$ ser tal que para $n,m \geq N$ tenemos $\|f_n - f_m\|_\infty < \frac{1}{2}$. A continuación, para todos los $x$

$$ |f(x)| \leq |f(x) - f_N(x)| + |f_N(x)| \leq \|f - f_N \|_{\infty} + \|f_N \|_{\infty}$$

donde$\|f - f_N \|_{\infty} \leq \frac12$, ya que para $n \geq N$, $ |f_n(x) - f_N(x)| < \frac12$ para todos los $x$ y, por tanto, $|f(x) - f_N(x)| = |\lim_{n \to \infty} f_n(x) - f_N(x)| = \lim_{n \to \infty} |f_n(x) - f_N(x)| \color{\red}{\leq} \frac12$ ( $<$ !) para todos los $x$ y, por tanto,$\sup_x |f(x) - f_N(x)| = \|f-f_N\|_\infty \leq \frac12$.

Para terminar la prueba que necesitamos para demostrar que $f_n$ converge en la norma, es decir,$\|f_N - f\|_\infty \xrightarrow{N \to \infty} 0$:

Deje $\varepsilon > 0$. Deje $N$ ser tal que para $n,m \geq N$ tenemos $\|f_n-f_m\|_\infty < \varepsilon$. A continuación, para todos los $n \geq N$

$$ |f(x) - f_n(x)| = \lim_{m \to \infty} |f_m(x) - f_n(x)| \leq \varepsilon $$

para todos los $x$ y, por tanto,$\|f- f_n\|_\infty \leq \varepsilon$.

Answer 2

Para mostrar que $(C_b(X), \| \cdot \|_\infty)$ es completa en primer lugar, muestran que hay un pointwise límite de la función en $\mathbb{R}$ que $f_n$ converge. Para esto tomamos nota de que, debido a $f_n$ es de Cauchy con respecto a la sup de la norma, se desprende que el $f_n(x)$ es una secuencia de Cauchy en $\mathbb{R}$ cualquier $x$$X$. Pero $\mathbb{R}$ es completa y, por tanto, el límite de $\lim_{n \to \infty} f_n (x)$$\mathbb{R}$.

Ahora vamos a $f(x)$ denotar la pointwise la función de límite de $f_n$. Ahora queremos demostrar que $f$ es acotado, es decir, existe una constante real $K$ tal que $\| f \|_\infty < K$. Para ello volvemos a usar ese $f_n$ es de Cauchy con respecto a la sup norma: Para cada $\varepsilon > 0$ podemos encontrar una $N$ tal que para $n,m \geq N$ tenemos que $\| f_n - f_m \|_\infty < \varepsilon$. Con el triángulo de la desigualdad tenemos $\| f \|_\infty \leq \| f - f_N \|_\infty + \| f_N \|_\infty$ y debido a $f_N$ $C_b(X)$ sabemos que existe una $M$ $\mathbb{R}$ sucht que $\| f_N \|_\infty \leq M$. También tenemos $\| f_n - f_N \|_\infty < \varepsilon$ todos los $n \geq N$ y, por tanto,$\lim_{n \to \infty} \| f_n - f_N \|_\infty = \| f - f_N \|_\infty \leq \varepsilon$. Por lo tanto $f$ está acotada.

Ahora queremos demostrar que las $f_n$ converge a $f$ en la norma, es decir, $\| f - f_n \|_\infty \xrightarrow{n \to \infty} 0$. Para esto vamos a $\varepsilon > 0$. A continuación, tenemos que existe una $N$ tal que para $n,m \geq N$, $\| f_n - f_m \|_\infty < \frac{\varepsilon}{2}$, de nuevo debido a que $f_n$ es de Cauchy.

Con el triángulo de la desigualdad obtenemos $\| f - f_n \|_\infty \leq \| f - f_N \|_\infty + \| f_N - f_n \|_\infty \leq \varepsilon$. Por el mismo argumento como antes, es decir, por $f_n$ es de Cauchy, $\| f_n - f_N \|_\infty < \frac{\varepsilon}{2}$ todos los $n \geq N$ y, por tanto,$\lim_{n \to \infty} \| f_n - f_N \|_\infty = \| f - f_N \|_\infty \leq \frac{\varepsilon}{2}$.

Por lo $\| f - f_n \|_\infty \leq \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$ y $\varepsilon$ era arbitraria, sigue habiendo $\varepsilon$ tienden a $0$ que $\| f - f_n \|_\infty \xrightarrow{n \to \infty} 0$.

Finalmente, ahora que tenemos la convergencia en norma, se le puede aplicar el uniforme teorema del límite para conseguir ese $f$ es continua y, por tanto,$f$$C_b(X)$.

Answer 3

Deje $(f_n)_{n\geq1}$ ser una secuencia de Cauchy en $B(X)$. A continuación, para cada fijos $x\in X$ la secuencia de $\bigl(f_n(x)\bigr)_{n\geq1}$ es una secuencia de Cauchy de números reales, donde convergente para algún número real $\xi=:f(x)$. A partir de la definición de la norma en $B(X)$, se desprende que la convergencia $f_n\to f$ $\ (n\to\infty)$ en realidad es uniforme; por lo tanto, la función de límite de $f$ es continua en a $X$. Si $X$ es compacto hemos terminado, ya que, a continuación, $f\in B(X)$ automáticamente. De lo contrario, se argumenta de la siguiente manera: Hay un $m$ $\|f_n-f_m\|\leq1$ todos los $n\geq m$. Por lo tanto para cada una de las $x\in X$ hemos $$|f_n(x)|\leq \|f_m\|+1=:C\qquad(n\geq m)\ ,$$ y esto implica $|f(x)|\leq C$ todos los $x\in X$, de donde $f\in B(X)$.