Buscando una primera perturbación de la orden del laplaciano tener 0 en su espectro

Question

Me gustaría encontrar un ejemplo claro de una lineal, elíptica operador con el siguiente formulario: $$Lu=-\Delta u +b(x)\cdot \nabla u, $$ donde $b\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$, y tales que existe un no trivial (débil) de la solución del problema de Dirichlet $$ \begin{cases} Lu = 0 & \text{in}\ \Omega \\ u=0 & \text{on}\ \partial \Omega\end{cases}.$$ Aquí $\Omega$ puede ser cualquiera limitada y suave dominio de $\mathbb{R}^n$.

En términos funcionales, estoy tratando de convencerme de que en un primer orden de la perturbación de la Laplaciano puede alterar el espectro hasta el punto de que $0$ se convierte en un autovalor.

Puede que alguien me proporcione un ejemplo? He intentado buscar en el caso unidimensional, al $\Omega$ reduce a un intervalo, pero no pude encontrar uno.

Gracias por la lectura.

Answer 1

Estoy empezando a pensar que ese ejemplo no es tan fácil de encontrar. De hecho, no existen si $b$ es el gradiente de un campo escalar $B$. Propongo una prueba de ello: por favor, hágamelo saber si usted encuentra que es malo. Gracias.

Reclamación Supongamos que $B\colon \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ es diferenciable. Entonces la única solución débil del problema $$\tag{1}\begin{cases} -\Delta u + \nabla B\cdot \nabla u =0 & \Omega \\ u=0 & \partial \Omega\end{cases}$$ es la trivial.

Prueba Como se puede ver en esta respuesta, el problema (1) es el de Euler-Lagrange ecuación de la siguiente funcional: $$S(u)=\int_{\Omega} e^{-B(x)}\frac{\lvert \nabla u\rvert^2}{2}\, dx,$$ de modo que (1) es equivalente a la relación $$dS(u)v=0, \quad \forall v \in H^1_0(\Omega).$$ Calculamos el $dS(u)v$ y descubrir que $$dS(u)v=\int_\Omega e^{-B(x)}\nabla u\cdot \nabla v\, dx.$$ Así que si $u$ satisface (1) tenemos, establecimiento $v=u$ por encima de, $$\int_\Omega \lvert \nabla u\rvert^2e^{-B(x)}\, dx=0,$$ a partir de la cual podemos deducir que los $\nabla u =0 $$\Omega$.

Answer 2

Deje $\phi\colon[\,a,b\,]\to\mathbb{R}$ $C^1$ función tal que $\int_a^b\phi(t)\,dt=0$. A continuación, $u(x)=\int_a^x\phi(t)\,dt$ $C^2$ función tal que $u(a)=u(b)=0$ y $$ u"=b\,u'\quad\text{con}\quad b(x)=\frac{\phi'(x)}{\phi(x)}. $$ Todos los ejemplos explícitos he tratado de dar $b$'s que no están en ningún $L^p$, $1\le p\le\infty$, de modo que $u$ podría no ser una solución débil.

Por otro lado, es fácil ver que si $b$$C^1$, entonces no hay solución regular de las salidas. De $u(a)=u(b)$ se sigue que $u'(c)=0$ algunos $c\in(a,b)$. Desde $b$ es regular, esto implica que $u''(c)=0$. Una singularidad argumento implica que $u$ debe ser constante.