Una prueba para la estacionariedad de una AR(2)

Question

¿Considerar una centrada en el medio AR(2) proceso $$X_t=\phi_1X_{t-1}+\phi_2X_{t-2}+\epsilon_t$$ where $\epsilon_t$ is the standard white noise process. Just for sake of simplicity let me call $\phi_1=b$ and $\phi_{2}=a$. Focusing on the roots of the characteristics equation I got $$z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2+4a}}{2a}$$ el clásico condiciones en los libros de texto son los siguientes: %#% $ de #% he intentado resolver manualmente (con la ayuda de Mathematica) las desigualdades en las raíces, es decir el sistema de $$\begin{cases}|a|<1 \\ a\pm b<1 \end{cases}$$$\begin{cases}|\frac{-b-\sqrt{b^2+4a}}{2a}|>1 \\ |\frac{-b+\sqrt{b^2+4a}}{2a}|>1\end{cases}$$ obtaining just $$a \pm b<1$ | un | < 1 $ Can the third condition ($ a + b + a b < 2 \Rightarrow un < 1 $) be recover adding the previous two solutions to each other getting $ | un | < 1$? ¿O me estoy perdiendo una solución?

Answer 1

Mi conjetura es que la ecuación característica de salida es diferente de la mía. Me permiten continuar en un par de pasos para ver si estamos de acuerdo.

Considere la ecuación $$ \lambda^2-\phi_1\lambda\phi_2=0 $$

If $z$ is a root of the "standard" characteristic equation $1-\phi_1 z-\phi_2 z^2=0$ and setting $z^{-1}=\lambda$, la pantalla se obtiene a partir de la reescritura de la estándar de la siguiente manera: \begin{eqnarray*} 1-\phi_1 z-\phi_2 z^2&=&0\\ \Rightarrow z^{-2}-\phi_1 z^{-1}-\phi_2 &=&0\\ \Rightarrow \lambda^2-\phi_1\lambda -\phi_2 &=&0 \end{eqnarray*} Por lo tanto, una alternativa condición para la estabilidad de una $AR(2)$ es que todas las raíces de la primera pantalla están dentro del círculo unidad, $|z|>1 \Leftrightarrow |\lambda|=|z^{-1}|<1$.

Utilizamos esta representación para derivar la estacionariedad triángulo de un $AR(2)$ proceso, que es que un $AR(2)$ es estable si las tres condiciones siguientes se cumplen:

1. $\phi_2<1+\phi_1$
2. $\phi_2<1-\phi_1$
3. $\phi_2>-1$

Recordar que se puede escribir de las raíces de la primera pantalla (si es real) como $$ \lambda_{1,2}=\frac{\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2} $$ para encontrar las dos primeras condiciones.

A continuación, el $AR(2)$ es estacionaria iff $|\lambda|<1$, por lo tanto (si $\lambda_i$ son reales): \begin{eqnarray*} -1<\frac{\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2}&<&1\\ \Rightarrow -2<\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2 \end{eqnarray*} El mayor de los dos $\lambda_i$ está delimitado por $\phi_1+\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}<2$ o de: \begin{eqnarray*} \phi_1+\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2\\ \Rightarrow \sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2 - \phi_1\\ \Rightarrow \phi_1^2+4\phi_2&<&(2 - \phi_1)^2\\ \Rightarrow \phi_1^2+4\phi_2&<&4 - 4\phi_1+\phi_1^2\\ \Rightarrow \phi_2&<&1 - \phi_1 \end{eqnarray*} De forma análoga, nos encontramos con que $\phi_2<1 + \phi_1$.

Si $\lambda_i$ es complejo,$\phi_1^2<-4\phi_2$, por lo que $$\lambda_{1,2} = \phi_1/2\pm i\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}/2.$$ The square of a complex number is the square of the real plus the square of the imaginary part. Hence, $$\lambda^2 = (\phi_1/2)^2 - \left(\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}/2\right)^2 = \phi_1^2/4+(\phi_1^2+4\phi_2)/4 = -\phi_2.$$ This is stable if $|\lambda|<1$, hence if $-\phi_2<1$ or $\phi_2>-1$, as was to be shown. (The restriction $\phi_2<1$ resulting from $\phi_2^2<1$ is redundant in view of $\phi_2<1+\phi_1$ and $\phi_2<1-\phi_1$.)

El trazado de la estacionariedad triángulo, indicando también la línea que separa el complejo de raíces reales, obtenemos

Producido en R usando

phi1 <- seq(from = -2.5, to = 2.5, length = 51) 
plot(phi1,1+phi1,lty="dashed",type="l",xlab="",ylab="",cex.axis=.8,ylim=c(-1.5,1.5))
abline(a = -1, b = 0, lty="dashed")
abline(a = 1, b = -1, lty="dashed")
title(ylab=expression(phi[2]),xlab=expression(phi[1]),cex.lab=.8)
polygon(x = phi1[6:46], y = 1-abs(phi1[6:46]), col="gray")
lines(phi1,-phi1^2/4)
text(0,-.5,expression(phi[2]<phi[1]^2/4),cex=.7)
text(1.2,.5,expression(phi[2]>1-phi[1]),cex=.7)
text(-1.75,.5,expression(phi[2]>1+phi[1]),cex=.7)