Esto es esencialmente un comentario sobre Kevin Buitre de la respuesta, pero debido a su longitud y (me siento) importancia, estoy dejando por separado.
Es una consecuencia de la Serre de la imagen abierta teorema de que el conjunto de los números primos de supersingular de reducción para un no-CM de curva elíptica $E_{/ \mathbb{Q}}$ tiene una densidad de cero. (Por el contrario, de un CM de curva elíptica, el conjunto de los números primos tiene una densidad de $\frac{1}{2}$.) Por lo tanto, cuando Elkies mostró-por un método de prueba reminiscencias de Euclides del argumento, como usted dice! -- que hay infinitamente muchos supersingular primos de todos los $E$, fue en particular dando una muy interesante y natural ejemplo de un conjunto infinito de números primos de densidad cero.
Es interesante tratar de generalizar este ejemplo para casos análogos. Por ejemplo, Barry Mazur (mi asesor de tesis) me preguntó una vez si he podido demostrar la infinitud de los números primos de supersingular reducción de abelian superficies de $A_{/\mathbb{Q}}$ con quaternionic la multiplicación. (Yo ya había probado el análogo de la Serre de la imagen abierta teorema en este caso, o más bien super aprobada, ya que Ohta había hecho muchos años antes.) Yo no tenía ni idea de cómo hacerlo. Mi compañero de cuarto, David Jao, terminó escribiendo una tesis sobre las generalizaciones de Elkies' la prueba de curvas elípticas correspondiente a $\mathbb{Q}$-puntos racionales en Atkin-Lehner cocientes de género $0$ modular curvas de $X_0(N)$, en particular dando nuevos ejemplos de la infinidad de supersingular primos de ciertas curvas elípticas sobre cuadrática imaginario campos. Él trató de la QM caso (en el que $X_0(N)$ es reemplazado por un Shimura de la curva), pero no podía hacer que el argumento de trabajar para un divertido razón: a pesar de que un QM abelian superficie es parecida a la de un no-CM de curva elíptica en la reducción de su comportamiento en la mayoría de los números primos, es como un CM de curva elíptica en que tiene algunos de los números primos de garantía de la supersingular de reducción, es decir, los números primos dividiendo el discriminante de la álgebra de cuaterniones. Él fue capaz de establecer un Euclid-Elkies argumento de estilo donde se utiliza el supersingular primos ya tener que conseguir otro, pero él no podía mostrar que este "otro" no era uno de un número finito de números primos de la división de la quaternionic discriminante! Más recientemente, Baba y Ayoade establecido este resultado para QM superficies de quaternionic discriminante $6$$10$.
(Hay un problema análogo para Drinfeld módulos en la función de campo de caso, pero Bjorn Poonen famosa dio un ejemplo de un Drinfeld módulo con ninguna de los números primos de supersingular reducción.)
Me parece que recuerdo vagamente que Serre 1981 papel en las aplicaciones de la Cebotarev teorema de densidad de y/o sus 1997 ATASCOS de papel en la equidistribución contiene más ejemplos de este tipo general, pero no os lo juro.
