¿Qué matrices preservar la $L_1$ norma para vectores positivos, de la norma de la unidad?

Question

Es fácil mostrar que ortogonal/unitario matrices de preservar la $L_2$ norma de un vector, pero si quiero una transformación que preserva la $L_1$ norma, lo que puedo deducir acerca de las matrices que hacer esto? Me siento como que debería ser algo así como la suma de las columnas 1, pero no he podido probarlo.

EDITAR:

Para ser más explícito, estoy buscando en el estocástico matrices de transición que actúan sobre vectores que representan las distribuciones de probabilidad, es decir, los vectores cuyos elementos son positivos y la suma de 1. Por ejemplo, la matriz de

$$ M = \left(\begin{array}{ccc}1 & 1/4 & 0 \\0 & 1/2 & 0 \\0 & 1/4 & 1\end{array}\right) $$

actuando en

$$ x=\left(\begin{array}{c}0 \\1 \\0\end{array}\right) $$

da $$ M \cdot x = \left(\begin{array}{c}1/4 \\1/2 \\1/4\end{array}\right)\:, $$ un vector cuyos elementos también se suma a 1.

Así que supongo que el conjunto de vectores cuya isometrías que me importa es más restringido que el caso general, que es la razón por la que yo estaba confundido acerca de la gente diciendo que permutación de matrices eran lo que yo buscaba.

Sooo... dado que los vectores son positivos y tienen entradas que suman 1, podemos decir nada más exacta acerca de las matrices que conservar esta propiedad?

Answer 1

Las matrices que conservan el conjunto de $P$ de vectores de probabilidad son aquellos cuyas columnas son miembros de $P$. Esto es obvio puesto que si $x \in P$, $M x$ es una combinación convexa de las columnas de $M$ con coeficientes dados por las entradas de $x$. Debe ser cada columna de $M$ $P$ (toma $x$ a un vector con un solo $1$ y todo lo demás $0$), y $P$ es un conjunto convexo.

Answer 2

Desde que originalmente se le preguntó acerca de $L^1$ espacios me atrevo a añadir este comentario.

Si se quiere preservar la integral en (finito-dimensional y con finito de medida ) $L^1$ espacios en lugar de la norma de $\ell^p$, las matrices $M$ que ello tiene dos componentes, a saber, $M= S * G$ donde $*$ es el producto de Hadamard.

El $S$ componente es efectivamente un punto de vista estocástico de la matriz como se muestra a mi Robert Israel.

El $G$ componente está dado por la matriz resultante de la parte externa del producto $u_{\mu} \otimes \frac{1}{u_{\mu}} = | u_{\mu} \rangle \langle \frac{1}{u_{\mu}} |$ el único vector columna $u_{\mu} :=\left(\begin{array}{c}\mu_1 \\ \mu_2 \\ \ldots \\ \mu_2\end{array}\right)$ y el también único vector de fila $\frac{1}{u_{\mu}} :=\left(\frac{1}{\mu_1} \ \frac{1}{\mu_2} \ \ldots \ \frac{1}{\mu_n}\right)$:

$G:=u_{\mu} \otimes \frac{1}{u_{\mu}} = \left(\begin{array}{cccc} 1 & \frac{\mu_2}{\mu_1} & \ldots & \frac{\mu_n}{\mu_1} \\ \frac{\mu_1}{\mu_2} & 1 & \ldots & \frac{\mu_n}{\mu_2} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \frac{\mu_1}{\mu_n} & \frac{\mu_2}{\mu_n} & \ldots & 1 \end{array}\right)$

donde $\mu_i$ son las medidas de la generación de la familia de subconjuntos de a $\{ A_i \}$ de la base de sigma álgebra, es decir, $\mu_i := \mu(A_i)$ $n = |\{ A_i \}|$ .

Para dar un ejemplo de donde el componente estocástico está ausente, tomar el estocástico matriz $S$ a ser simplemente una matriz de permutación. En este caso, su $M$ que conserva la integral es una generalizaed permutación de la matriz, cuyo no-cero de los elementos son de la forma $A_{i,j} =\frac{\mu_{j}}{\mu_i}$.

Para ver por qué los valores de medida $\mu_i$ son necesarios en la definición de $M$ recordar que un $L^p$ espacio se define dado una medida de espacio $(X,\Sigma,\mu)$. Así que si el $L^1$ espacio es finito dimensional, entonces los vectores $v$ $L^1$ son funciones simples, cuya integral es definida como el producto de $\langle u_{\mu}|v\rangle$. Y si la medida es finito, entonces esta integral es siempre bien definidos.

Espero que me hice claro.