¿Es una deformación formal de un álgebra de Lie un ejemplo de una ley de grupo formal?

Question

Me encontré con la siguiente definición de la deformación formal de un álgebra de Lie, y parece ser un objeto de grupo en la categoría de esquemas formales (no necesariamente conmutativos o de dimensión 1). Me gustaría saber si esta interpretación es correcta.

Consideremos un álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ de dimensión $N$ sobre un campo arbitrario $k$. Denotemos los elementos de la base de $\mathfrak{g}$ como $\{x_1,..., x_N\}$, y escribamos el corchete de Lie como $$[x_i, x_j] = C^k_{ij}x_k$$

donde los coeficientes $C^k_{ij}$ son las constantes de estructura. Denotemos por $L_N(k)$ el espacio de tensores estructurales de álgebras de Lie de dimensión N. Entonces, una deformación uniparamétrica de un álgebra de Lie g, cuyas constantes de estructura pertenecen a $L_N (k)$, es una curva continua sobre $L_N (k)”. (...)

Una deformación formal uniparamétrica está definida por los corchetes de Lie: $$[a,b]_t = F_0(a,b) + tF_1(a,b) + ... +t^mF_m(a,b)$$

donde $F_0$ denota el corchete de Lie original $[-, -]$. La identidad de Jacobi implica relaciones entre los tensores $F_m$. La primera relación de deformación de este tipo es que $F_1$ debe ser un dos-cociclo de $\mathfrak{g}$. Llamamos a $[-,-]_t$ una deformación de primer orden, o infinitesimal, si satisface la identidad de Jacobi hasta $t^2$. Se sigue que las deformaciones de primer orden corresponden a elementos del espacio de dos-cociclos $Z^2(\mathfrak{g},\mathfrak{g})$. Una deformación se denomina de orden $n$ si está definida módulo $t^{n+1}$.

Consideremos ahora una deformación $\mathfrak{g}_t = [-,-]_t$ no como una familia de álgebras de Lie, sino como un álgebra de Lie sobre el anillo $k[[t]]$ de series de potencias formales sobre $k$.

Una generalización natural es permitir más parámetros, lo que implica considerar $k[[t_1, . . . , t_k]]$ como la base (o, aún más generalmente, tomar un álgebra conmutativa arbitraria $A$ sobre $k$, con unidad como base).

Supongamos que A admite una augmentación $\epsilon: A \to k$, tal que $\epsilon$ es un homomorfismo de álgebras sobre k. El ideal $m_\epsilon := ker(\epsilon)$ es un ideal maximal de A, y, dado un ideal maximal $m$ de A con $A/m \simeq k$, el mapeo natural de cociente define una aumento. Si A tiene un único ideal maximal, la deformación con base A se llama local. Si A es el colímite de álgebras locales, la deformación se llama formal.

-- Deformations and Contractions of Lie algebras, Fialowski y Montigny

Aquí está mi pregunta: ¿Una serie de potencias formales define una deformación formal de un álgebra de Lie?

Answer 1

Sí, define una deformación formal de un álgebra de Lie en el siguiente sentido: sea $\mathfrak{g}_0$ un álgebra de Lie sobre un campo $k$ y $A$ sea un $k$-álgebra con un punto especificado $t_0\in {\rm Spec}(A)$ y un campo residual $k_{t_0}=k$. Una deformación de $\mathfrak{g}_0$ es un álgebra de Lie $\mathfrak{a}$ sobre $A$ junto con un isomorfismo de álgebras de Lie sobre $k$, $$ \phi\colon \mathfrak{g}_0\rightarrow \mathfrak{a}\otimes_A k. $$ El álgebra de Lie $\mathfrak{a}_k=\mathfrak{a}\otimes_A k$ se llama el álgebra límite o la fibra especial de la deformación $\mathfrak{a}.

Así que una deformación formal de $\mathfrak{g}_0$ puede ser una deformación sobre, por ejemplo, el anillo $A=k[[t]]$ de series de potencias formales. Este anillo está determinado de manera única como un álgebra local regular completa de dimensión $1$ sobre $k$.

Para referencias sobre deformaciones, contracciones y degeneraciones de álgebras de Lie y grupos algebraicos, consulta aquí.