¿Cada cuasi-isométrica espacio métrico es un gráfico?

Question

He comprobado que si $(X, d)$ es una geodésica espacio métrico entonces existe un grafo que es cuasi-isométrico a $X$. Durante esta prueba he precisamente, el hecho de que dados dos puntos en $X$ existe una distancia minimizando la curva dentro de $X$ unir esos dos puntos.

Después de esto he tratado de generalizar mi prueba para cualquier espacio métrico, que yo no podía. Ahora creo que no es cierto en general. Tengo una intuitiva supongo que para un contra-ejemplo: considere el$X=\{x_i \mid i \in \mathbb{N}\}$$d(x_i,x_j)= |i^2 - j^2|$. Creo que para este espacio métrico hay dosis no existe ningún tipo de gráfico cuasi-isométrica con $(X,d)$, pero hasta ahora no pude capaz de demostrarlo.

¿Alguien puede proporcionarme algunos consejos o algunos contra-ejemplo para este efecto, o puede ser alguna prueba de que el hecho de que, dado cualquier espacio métrico existe un gráfico cuasi-isométrico a ese espacio?

Answer 1

Un espacio métrico es QI a un iff conectado gráfico es geodésica a gran escala. Ver definición 3B1 aquí (mi libro con Pierre de la Harpe)y la caracterización es un ejercicio (ver la prueba de la Proposición 3B7(6)).

Geodésico a gran escala implica conectado a gran escala, y su ejemplo (el conjunto de los cuadrados de números enteros) no es aún a gran escala conectado.

Answer 2

La respuesta es negativa. Una métrica gráfico de $G$ es la ruta de acceso conectado: cualquiera de los dos puntos se pueden unir por un camino continuo $\gamma:[0,1]\to G$. Un cuasi-isometría puede destruir ruta de acceso de conectividad, pero sólo hasta cierto punto. Es decir, si $f:G\to X$ es un cuasi-isometría, a continuación, la composición de una curva continua $\gamma :[0,1]\to G$, con una cuasi-isometría $f:G\to X$ es una función de $g:[0,1]\to X$ que no salta por más de $B$; es decir, su pointwise de oscilación, que se define como $$\omega_g(x) = \limsup_{y\to x} |g(y)-g(x)| $$ es en la mayoría de las $B$ por cada $x$. Uno puede llamar a esas funciones $B$-aproximadamente-continuo.

Su ejemplo, $\{n^2 : n\in\mathbb{N}\}$, se puede utilizar aquí. Pick $n$ tal que $(n+1)^2-n^2 > B$, y argumentan que no hay ninguna $B$-más o menos continua en función de $[0,1]$ $X$que toma los valores de $n^2$$(n+1)^2$. De hecho, para una función de ambos conjuntos de $\{t:g(t)\le n^2\}$ $\{t:g(t)\ge (n+1)^2\}$ estaría vacía, desunidos y abierta en $[0,1]$.

(Por ejemplo: si $g(t)\le n^2$, $t$ tiene un barrio en el que $g<n^2+B+\epsilon$, pero esto significa $g\le n^2$ en este barrio si $\epsilon$ es lo suficientemente pequeño.)