¿Norma de una matriz simétrica?

Question

Digamos que tengo una matriz simétrica. Tengo el concepto de 2-norma como se define en wikipedia. Ahora quiero demostrar (¿refutar?) que la norma de una matriz simétrica es el valor absoluto máximo de su valor propio. Agradecería mucho si esto se puede hacer sólo usando conceptos simples de álgebra lineal.

Soy bastante nuevo en las matemáticas.

Answer 1

Estos modelos no son los mismos porque la primera es una función racional de $x$ y la segunda es una función exponencial. La segunda es realmente un modelo "logístico", pero la primera no lo es. Además, las afirmaciones sobre $B$ y $C$ en el primer modelo no son ciertas. La pendiente máxima depende de $C$ que es un parámetro de escala, no de localización. Además, aunque la pendiente máxima sí depende de $B$ Pero lo hace de forma complicada. Por ejemplo, cuando $B = 2$ la pendiente máxima es igual a $\frac{9}{8\sqrt{3}}$ .

Si escribe $x = \log(z)$ y $C = \log(\gamma)$ entonces el segundo modelo es

$$y = D + \frac{A-D}{1 + \exp(B(\log(z)-\log(\gamma))} = D + \frac{A-D}{1 + (z/\gamma)^B},$$

que sí tiene la forma del primer modelo. En otras palabras, en el primer modelo el logaritmo de $z$ tiene una forma logística.

Answer 2

He aquí una explicación sencilla que no procede necesariamente del álgebra lineal. Tenemos

$$\|A\|_2=\max_{\|x\|=1}\|Ax\|$$

donde $\|\cdot\|$ es la norma euclidiana simple. Se trata de un problema de optimización restringida con función de Lagrange:

$$L(x,\lambda)=\|Ax\|^2-\lambda(\|x\|^2-1)=x'A^2x-\lambda(x'x-1)$$

aquí tomé cuadrados que no cambian nada, pero facilita el siguiente paso. Tomando la derivada con respecto a $x$ y equiparándolo a cero obtenemos

$$A^2x-\lambda x=0$$

la solución de este problema es el vector propio de $A^2$ . Desde $A^2$ es simétrica, todos sus valores propios son reales. Así que $x'A^2x$ conseguirá el máximo en el plató $\|x\|^2=1$ con un valor propio máximo de $A^2$ . Ahora bien, desde $A$ es simétrico admite la representación

$$A=Q\Lambda Q'$$

con $Q$ la matriz ortogonal y $\Lambda$ diagonal con valores propios en las diagonales. Para $A^2$ obtenemos

$$A^2=Q\Lambda^2 Q'$$

por lo que los valores propios de $A^2$ son los cuadrados de los valores propios de $A$ . La norma $\|A\|_2$ es la raíz cuadrada tomada del máximo $x'A^2x$ en $x'x=1$ que será la raíz cuadrada del máximo valor propio de $A^2$ que es el máximo valor propio absoluto de $A$ .

Answer 3

Sería bueno tener además la matriz de covarianza de los residuos $\hat{\Sigma}$ para hacer inferencias comunes sobre la significación de los parámetros estimados, o si está seguro de que es homocedástica, entonces sólo $\hat{\sigma}^2$ .

En cuanto a las regularizaciones de mínimos cuadrados generalizados (probablemente incluyendo estimadores de variables instrumentales) la respuesta será no. Necesita las matrices de datos originales (aunque si le suministran $X^T \Omega^{-1}X$ y $X^T\Omega^{-1}y$ puedes hacer GLS, pero pierdes el control para la elección de $\Omega$ de todos modos).

En el caso de las normas generales no lineales lazo regularización sería aún más complicado. Por suerte, se puede aproximar mediante una regresión de cresta (véase la página 273 de la referencia) de un tipo especial.

En cuanto a lo ordinario regresión de cresta es suficiente, ya que lo único que hay que hacer en este caso es añadir elementos a la diagonal $X^TX+\delta I$ , donde $I$ es una matriz de identidad. Por lo tanto, en este caso particular funciona bien.