¿Es posible revertir la operación de la paradoja de Banach-Tarski? Es decir, tengo dos bolas tridimensionales y es posible combinarlos en una bola que es idéntica a una de las bolas (usando el axioma de elección)?
Muchas gracias.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
confused
Puntos
71
Sí. De hecho, la forma fuerte de Banach-Tarski paradoja es la siguiente:
Teorema. Deje $n\geq3$ y deje $A,B\subseteq\mathbb{R}^n$ ser arbitraria de conjuntos acotados con los no-vacío interior. A continuación, $A$ $B$ son equidecomposable.
Esto significa que podemos cortar cualquier $A$ en un número finito de piezas y usando isometrías (distancia-la preservación de los mapas; es decir, lineal mapas y traducciones) de volver a ponerlos juntos para formar $B$.
Nota, que equidecomposability se ve fácilmente a ser una relación de equivalencia, de la que ya se deduce que: si podemos cortar una pelota en un número finito de piezas y crear dos, también podemos invertir el proceso.
A ver que equidecomposability es una relación simétrica, sólo tenga en cuenta que las isometrías de cualquier espacio métrico (incluyendo $\mathbb R^n$) formar un grupo. Así que si usted tiene descompuesto $A$ en los conjuntos de $A_1, A_2, ..., A_n$ y se utiliza isometrías $g_1, g_2, ..., g_n$ para obtener conjuntos de $B_1, B_2,...,B_n$ que en conjunto forman $B$ (usualmente escribimos $g_iA_i=B_i$ para denotar la isometría $g_i$ está actuando sobre un conjunto $A_i$, es decir, $g_iA_i$ es el conjunto obtenemos de $A_i$ cuando se utilice el isometría $g_i$)puede usar los inversos de estos isometrías para llegar de$B$$A$. (En la notación de arriba: si $g_iA_i = B_i$$i=1,2,...,n$, entonces también tenemos $A_i=g_i^{-1}B_i$. En pocas palabras: si me he movido un conjunto y se gira un poco, siempre se puede girar y mover de nuevo, para obtener el conjunto original de nuevo.)
DanV
Puntos
281
La respuesta corta es, por supuesto.
El Banach-Tarski paradoja se explica cómo tomar una pelota y cortar de tal manera que se pueden mover las piezas a su alrededor y crear dos bolas. El proceso es completamente simétrica.
¿Qué hace el Banach-Tarski paradoja de decir? Se dice que, dado un balón $B$ se puede escribir como $B=A_1\cup\ldots\cup A_n$ que son todos distintos, y utilizando muy agradable mapas de $f_1,\ldots,f_n$ (rotación y, a continuación, mover las piezas sin estiramiento), llegamos a que $f_1(A_1)\cup\ldots\cup f_n(A_n)$ es en realidad dos pelotas! Estos $f_i$ son tan bonitas que podemos revertir esta situación, que es girar hacia atrás y cambio en la otra dirección - de nuevo sin estirar.
Dadas dos bolas disjuntas se puede considerar un muy canónica mapa de $g$ las dos bolas de Banach-Tarski recomposición de dos de nuestros nuevos. Ahora tenemos que para $i=1,\ldots,n$ tenemos que $B_i=g(f_i(A_i))$ es la parte en la que esencialmente se descompone la unidad de la bola. Revertir el proceso que $f_i$ lo hizo a cada una de las $B_i$ y el resultado de recomponer una sola bola.
El ejemplo trivial y obvio es cuando dos bolas son las que reciben a partir de la Banach-Tarski paradoja en sí mismo, en cuyo caso $g$ es la identidad.
