¿Un problema de cinco ecuaciones?

Question

If $$ \begin{align*} y+u+x+v&=0\\ z+y+v+u&=1\\ x+y+z+u&=5\\ z+u+v+x&=2\\ v+x+y+z&=4\,, \end{align*} $$ ¿cuál es el valor de $xyzuv$?

Answer 1

Que $S=x+y+z+u+v$. Entonces, por ejemplo, tu primera ecuación puede escribirse $$ S-z = 0 $$ usted puede hacer lo mismo con las otras cuatro ecuaciones, puesto que cada uno de ellos le falta una variable diferente. Agregue las ecuaciones resultantes para obtener $5S-S=0+1+5+2+4=12$, que $S=3$. De esto y de las ecuaciones transformadas, obtenemos los valores de cada una de las variables y por lo tanto su producto.

Answer 2

$$\begin{align*} y+u+x+v&=0\tag1\\ z+y+v+u&=1\tag2\\ x+y+z+u&=5\tag3\\ z+u+v+x&=2\tag4\\ v+x+y+z&=4\tag5 \end{align*} $$

Sumando estas cinco ecuaciones, obtenemos: $$\begin{align*} 4(x+y+z+u+v)&=12\\ x+y+z+u+v&=3\tag{6} \end{align*} $$

$$\begin{align} (6) - (1) &\implies z=3\\ (6) - (2) &\implies x=2\\ (6) - (3) &\implies v=-2\\ (6) - (4) &\implies y=1\\ (6) - (5) &\implies u=-1 \end {Alinee el} $$ así, a partir de estos resultados, $$ x\cdot y\cdot z \cdot u\cdot v = 2\times \times 1 3 \times (-1) \times (-2) $$ $$ \therefore \boxed{\ x\ y\ z\, u\, v = 12\} $$

Answer 3

¿Tratar y resolver las ecuaciones, usando eliminación Gaussian, o algún otro método? Encontré $(x,y,z,u,v) = (2,1,3,-1,-2)$

Answer 4

Sugerencia: Resolver para % $ $$\mathbf{A} \mathbf{s} = \mathbf{b},$donde $\mathbf{s} = [x \ y \ z \ u \ v]^T$

Resultado debe ser el producto de todos los elementos de $\mathbf{s}$.