Probar que el determinante de una matriz invertible $A$ es igual a $±1$ cuando todas las entradas de $A$ y $A^{−1}$ son enteros.

Question

Probar que el determinante de una matriz invertible $A$ es igual a $±1$ cuando todas las entradas de $A$ y $A^{−1}$ son enteros.

Puedo explicar la respuesta, pero me gustaría que me ayudaran a traducirla en un conciso prueba con ecuaciones.

Mi explicación:

El hecho de que $ \det (A) = ±1$ implica que cuando realizamos el Gaussian eliminación en $A$ nunca tenemos que multiplicar las filas por los escalares. Esto significa que que para cada columna, la entrada del pivote es creada por la columna anterior operaciones de fila y se puede poner en su lugar mediante el intercambio de filas. (Y la primera columna ya debe contener una $1$ ). Por lo tanto, nunca necesitamos multiplicar por un valor no integral para realizar la eliminación gaussiana.

Answer 1

Dejemos que $A\in\mathbb Z^{n\times n}$ tal que $A^{-1}\in\mathbb Z^{n\times n}$ . Obsérvese que el determinante de una matriz entera es un número entero, por lo que $\det\colon\mathbb Z^{n\times n}\to \mathbb Z$ . Ahora, $1=\det(\mathbb I)=\det(A\cdot A^{-1})=\det(A)\cdot\det(A^{-1})$ . Dado que ambos $\det(A)$ y $\det(A^{-1})$ son números enteros, sólo pueden ser $1$ o $-1$ .