Por favor me explique por qué el valor esperado es $ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) dx $

Question

Para funciones de densidad de probabilidad (al menos para la distribución normal y la distribución beta) sostiene que el valor esperado es dado por $ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) \, dx $.

Tengo que resolver esto para una tarea para la distribución beta. La búsqueda de una solución en el internet no era tan duro, pero no me importaría la comprensión de este cálculo.

Me gustaría saber, en primer lugar por qué $ f_X(x) $ se multiplica por $ x $. Lo mismo se hace si la varianza se presenta calculado -, pero en este caso la función se multiplica por $ x^2 $. Entonces, ¿por qué es este el caso?

La otra cosa es que no entiendo por qué esta función se integra y que no se deriva por ejemplo?

Podría alguien explicar esto a mí? Yo no estoy en busca de una solución, sólo una explicación. Gracias.

Answer 1

En lugar de pensar en él como $$ \Big(xf_X(x)\Big)\,dx, $$ uno puede pensar en él como $$ x\Big(f_X(x)\,dx\Big). $$ El punto es que $f_X(x)\,dx$ es infinitamente pequeña probabilidad de que la variable aleatoria $X$ es en un infinitamente pequeño intervalo que incluye a $x$ donde $dx$ es la longitud de dicho intervalo. Por lo tanto esto es análogo a la discreta situación donde encontrará $\displaystyle\sum_x x\Pr(X=x)$. Uno piensa en las integrales como la suma de un número infinito infinitamente pequeñas cantidades.

También hay una lógica rigurosa punto de vista que podría explicar por qué es que si $$ \Pr(X\a) = P(\{\omega\en\Omega : X(\omega)\in A\}) = \int_A f(x)\,dx $$ para cada conjunto medible $A$, luego $$ \mathbb E(X) = \int_\Omega X(\omega)\,P(d\omega) = \int_{-\infty}^\infty xf(x)\,dx. $$ Voy a volver más tarde con algo acerca de que a menos que alguien se me adelanta. Y si alguien lo hace, yo podría publicar mi propio p.o.v. de todos modos.

Answer 2

Lo que si nuestra variable aleatoria tomó sólo un número finito de valores, decir $x_1,\ldots,x_n$? Entonces podemos decir que $$ \mathbb{E}[X]=x_1\cdot P(X=x_1)+\cdots+x_n\cdot P(X=x_n). $$ Cuando tenemos una distribución continua, acerca de lo mejor que podemos hacer es venir con una buena aproximación, como si se tomó sólo un número finito de valores.

Por el momento, supongamos que nuestra variable aleatoria vive en un intervalo acotado $I$. (Para obtener para el caso general, básicamente, nos tomamos límites.)

Podemos romper $I$ hasta MUY PEQUEÑOS intervalos de $(x_0,x_1),(x_1,x_2),\ldots,(x_{n-1},x_n)$. Si los intervalos son pequeñas, entonces el punto final y el otro no difieren en mucho. Así, podemos aproximar la expectativa por el $$ \mathbb{E}[X]\aprox x_1\cdot P(X\in(x_0,x_1))+\cdots+x_n\cdot P(X\(x_{n-1},x_n)). $$ Pero, sabemos que el $P(X\in (x_{i-1},x_i))=\int_{x_{i-1}}^{x_i}f_X(x)\,dx\approx f_X(x_i)\Delta x_i$ donde $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$. Así, en todos, $$ \mathbb{E}[X]\approx \sum_{i=1}^{n}x_i\,f_X(x_i)\Delta x_i... $$ pero esto se ve como una suma de Riemann! Si dejamos $n\rightarrow\infty$ y los intervalos disminuya, esta enfoques precisamente $$ \int_a^bx\,f_X(x)\,dx, $$ donde $I=(a,b)$.

Answer 3

Una respuesta completa consiste en medir los espacios, y que es tal vez un poco pesado (y dado los detalles de esta pregunta se puede encontrar un poco insatisfactorio). Lo que voy a hacer es dibujar una analogía.

Recordemos que una integral es un límite de sumas. Por razones de simplicidad no vamos a usar todo el poder de la integral de Riemann, pero sólo se supone que las particiones son uniformes: $$\int _a^b g(x)\,dx = \lim_{n\to\infty} \left(\sum_{k=1}^n g\left(a+\textstyle\frac{b-a}nk\right)\right)$$

En esencia, entonces, una integral es como una "suma más de los reales".

Sabemos que en el caso finito de sumas de dinero, de un valor esperado es $E[X] = \sum xf(x)$, donde la suma es sobre todos los elementos en el espacio para el evento y $f$ es la función de distribución de probabilidad. Si creemos que la integral es una suma sobre los reales, entonces esto se traduce a la perfección para mostrar que $E[X]$ hace $\int xf(x)\,dx$ al $X$ pasa a ser continua.

Si usted no cree que la analogía es tan fuerte, que nos puede hacer un poco mejor por el pensamiento de la aproximación de la variable aleatoria. Por ejemplo, tal vez sólo tener un dispositivo que lee 4 decimales, de modo que el resultado $5.3$ es indistinguible de la de $5.30002$. Entonces, si el menor resultado en el espacio de eventos de $X$ $a$ y el más grande es $b$, podemos partición del intervalo en $n$ piezas de manera que $\frac{b-a}{n}<0.0001$. Es un buen ejercicio para ver que consigue $\sum_{k=1}^n (a+\frac{b-a}nk)\cdot f\left(a+\textstyle\frac{b-a}nk\right)$.

Este debe reconocer como el lado derecho de la centrada en la ecuación anterior, pero sin el límite. La limitación del proceso, a continuación, corresponde a la toma de mejores aproximaciones de su "perfecta" variable aleatoria $X$, y el resultado final es $\int _a^b xf(x)\,dx$ que se recupera la fórmula que le han dado.

Answer 4

Para una función de probabilidad discreta (como el número de veces una moneda resultados del tirón en la cabeza), el valor esperado de la función es la suma de cada resultado posible veces la probabilidad de ese resultado. La integral es simplemente la transición natural de una función discreta a una función continua.

Answer 5

Euristically, el valor esperado de una variables al azar discretas es la media ponderada. Por esta razón el valor esperado es la suma de cada valor multiplicar por la probabilidad.

Continúa temporada el problema es un poco más incómodo porque hay que considerar un integral en el sentido de Riemann Lebesgue. En otras palabras, $$E[X]= \sum_{i} x_{i} p_{i},$$ for discrete a.v. and $$E[X]=\int_{\Omega} X(\omega) d \mu (\omega)$$ for continues a.v. (and in general), where $\Omega$ es el espacio de probabilidad.