1) Sí, es cierto que cualquier cerrada submanifold $X_n \subset \mathbb R^{n+1}$ es orientable , incluso si $X$ no es compacto.
Una vez que haya orientability, el paquete es necesariamente trivial.
De hecho, no existe un marco orientado a la $X_1, X_2,...,X_n\; (X_i\in \Gamma (X,TX))$$X$.
Para cada $x\in X$ hay dos vectores en $ T_x(\mathbb R^{n+1})$ ortogonal a $T_xX$ y de la longitud de la $1$.
Mediante la selección de $n(x)$, el uno en el que la base $X_1(x), X_2(x),...,X_n(x),n(x)$ $T_x(\mathbb R^{n+1})$ es directo, se puede obtener un lugar cero sección $n\in \Gamma (X,N)$ banalizar $N$.
2) No, esto es falso: algunos colectores no tienen incrustaciones con trivial normal paquete en cualquier $\mathbb R^{n+k}$. Aquí es por qué:
A partir de la secuencia exacta de vector de paquetes en $X$
$$ 0\to TX\to T\mathbb R^{n+k}|X \to N\to 0 $$ you deduce the equality of Stiefel-Whitney classes $w_1(TX)=w_1(N)$.
Así que si el normal bundle $N$ eran triviales, a la conclusión de que $w_1(TX)=0$.
Pero esto es falso para todos, incluso de dimensiones reales espacios proyectivos $\mathbb P^{2r}(\mathbb R) $ .
Así que en cualquier incrustación $\mathbb P^{2r}(\mathbb R)\hookrightarrow \mathbb R^{n+k}$ estos espacios proyectivos no trivial de la normal de paquetes.
