Muestran que el 13 es el primer más grande que divide a dos términos consecutivos de la $n^2 + 3$.

Question

Muestran que el 13 es el primer más grande que divide a dos términos consecutivos de la $n^2 + 3$.

Los enteros son $39$ y $52$. En primer lugar, configurar la variable para el número $k$. Así, $k|n^2 +3$ y $k|n^2 + 2n+ 4$ que implica que el $k|2n+1$. $n=6$ aquí. Y el hecho de que 13 es la más grande 'prime' me hace sentir que es difícil de probar. Eso es todo que he podido conseguir. Necesito unos consejos para fijarme en la dirección correcta. Gracias.

Answer 1

Si $k\mid n^2+3$ y $k\mid n^2+2n+4$, entonces como usted señaló, $k\mid 2n+1$.

Pero entonces también de $k\mid n^2+3$ tenemos $k\mid 2n^2+6$ y $k\mid 2n+1$ tenemos $k\mid 2n^2+n$.

Por lo tanto, $k\mid (2n^2+n)-(2n^2+6))=n-6$. Y así $k\mid 2n-12$.

De $k\mid 2n-12$ y $k\mid 2n+1$, obtenemos $k\mid 13$.

Answer 2

Que $a_n=n^2+3$. Si $p|a_n$ y $n^2=-3\pmod p$.

Un rápido cálculo muestra que el $a_{n+1}-a_n=2n+1$ así que si $p$ también divide $a_{n+1}$ $2n=-1\pmod p$ debemos tener. Cuadrado para ver que implica $4n^2=1\implies -12=1 \pmod p$. Así, $p|13$ y nosotros estamos hechos.