Mecánica cuántica perturbative

Question

Yo soy, en todos los casos, confundidos acerca de la teoría de la perturbación en la mecánica cuántica.

Mi libro de texto y la Wikipedia tienen el mismo enfoque general para explicarlo: dado que algunos de Hamilton $H=H^{(0)} + H^\prime$, podemos dividir cada eigenfunction $\left\vert n \right\rangle$ a una toma de corriente de la serie en inventar una constante $\lambda$ y el eigenenergies del mismo modo:

$\left\vert n \right\rangle = \sum\lambda^i\left\vert n^{(i)}\right\rangle$

$E_n = \sum \lambda^i E_n^{(i)}$

$\left(H^{(0)} + H^\prime\right) \left(\left\vert n^{(0)}\right\rangle + \lambda \left\vert n^{(0)}\right\rangle + \cdots \right) = \left(E^{(0)}+ \lambda E^{(1)} + \cdots\right) \left(\left\vert n^{(0)}\right\rangle + \lambda \left\vert n^{(1)}\right\rangle + \cdots \right)$

... y luego se tome $\lambda\to1$.

Mi pregunta es - ¿qué es la lógica? ¿De dónde vienen? ¿Para qué sirve $\lambda$ servir, ya que el tamaño real de cada contribución será determinado por el $E^{(i)}$'s y $\left\vert n^{(i)}\right\rangle$'s?

Answer 1

El punto de la introducción de la constante de acoplamiento $\lambda$ es que la serie de perturbaciones en $\lambda$ podría no tienen radio de convergencia $\geq 1$, es decir, el poder de la serie podría no ser convergente en $\lambda=1$, y, por tanto, que podría no tener sentido para sustituir a $\lambda=1$. De hecho, que es normalmente el caso.

Sin embargo, una divergente la serie todavía sentido como un poder formal de la serie si tenemos un parámetro de $\lambda$. (Uno puede pensar de $\lambda$ como un práctico de la contabilidad del dispositivo, que sigue la pista de la perturbativa de orden.) Por supuesto, un poder formal de la serie es de uso limitado si no sabemos cómo sumar.

Sin embargo, un divergentes de poder formal de la serie puede ser un asintótica de la serie. Si se nos concede que el sistema tiene sentido no-perturbativa (de modo que podemos hablar sobre el resultado correcto), todavía puede ser el caso de que los primeros términos de la perturbativa de poder de expansión de la serie en $\lambda$ puede constituir una excelente aproximación, incluso si la completa serie de perturbaciones en $\lambda$ es divergente.

Answer 2

En primer lugar, me refiero a que el Prof. Binney del libro de texto (ver abajo) que cubre la teoría de la perturbación en la mecánica cuántica, en explícita detalle. Al hacer teoría de la perturbación, nos perturban el Hamiltoniano $H^{(0)}$ " de un sistema que ha sido resuelto analíticamente, es decir, los estados propios y valores propios son conocidos. Específicamente,

$$H^{(0)}\to H^{(0)} + \lambda H'$$

donde $H'$ es la perturbación, y $\lambda$ es una constante de acoplamiento. ¿Por qué incluir un constante? Como Binney dice, nos proporciona un 'slider' que cuando se incrementa gradualmente a la unidad aumenta la intensidad de la perturbación. Al $\lambda = 0$, el sistema es imperturbable, y al $\lambda=1$ 'totalmente perturbar el sistema.'

La introducción de una constante de acoplamiento $\lambda$, también nos proporciona una manera para referirse a un determinado orden de teoría de perturbaciones; $\mathcal{O}(\lambda)$ es de primer orden, $\mathcal{O}(\lambda^2)$ es de segundo orden, etc. Como hemos aumento de los poderes de la constante de acoplamiento, tenemos la esperanza de que las correcciones disminuir. (La serie incluso pueden no converger.)

Una advertencia: la exigencia de que un acoplamiento $\lambda \ll1$ puede no ser suficiente o correcta para asegurarse de que el acoplamiento es pequeño; esto sólo es el caso cuando el acoplamiento es adimensional. Por ejemplo, si el acoplamiento, en las unidades en donde $c=\hbar=1$, tenía una masa (o, equivalentemente, de la energía) dimensión de $+1$, para asegurar un acoplamiento débil que sería necesario para la demanda, $\lambda/E \ll 1$ donde $E$ tenían dimensiones de energía. Tales acoplamientos son conocidos como relevantes en cuanto a bajas energías son altas, y en las altas energías del acoplamiento es baja.

• http://www-thphys.physics.ox.ac.uk/people/JamesBinney/QBhome.htm

Answer 3

Como tengo entendido, la lógica detrás de esto es la siguiente.

Nos escribe el Hamiltoniano para el perturbado sistema como el de Hamilton para la imperturbable uno, además de algunos de perturbación \begin{equation} H = H^{(0)} + H' \, . \end{equation}

Suponiendo que la perturbación se aplica gradualmente a continuación presentamos $H(\lambda)$ operador \begin{equation} H(\lambda) = H^{(0)} + \lambda H' \, , \end{equation} que es idéntica a $H^{(0)}$ al $\lambda = 0$ e idéntica a la de $H$ al $\lambda = 1$, dando así un cambio continuo de la imperturbable para el sistema perturbado.

Finalmente hemos de asumir que el tiempo independiente de la ecuación de Schrödinger tiene para todos los $\lambda \in [0, 1]$ \begin{equation} H(\lambda) |n(\lambda)\rangle = E(\lambda) |n(\lambda)\rangle \, , \end{equation} y presentamos el poder de la serie de expansiones para $|n(\lambda)\rangle$ $E(\lambda)$ mencionó.

Últimamente que a menudo se establece $\lambda$ igual a 1 si estamos interesados en el completamente perturbado sistema.

Answer 4

En caso de $H'$ es pequeño en cierto sentido wrt. $H_0$ uno escribe generalmente $$H(\lambda)=H_0+{\lambda}H'.$$ If the eigenvalues of $H_0$ are known one then obtains a perturbation series expressing the eigenvalues and eigenvectors of $H$ in terms of those of $H_0$. $\lambda$ se introduce principalmente para mantener un registro de términos.

Las complicaciones ocurren en caso de un valor propio de $H_0$ degenerado y si es continuo integrado.

Hay una literatura extensa sobre este asunto. En los volúmenes de caña y Simon puede encontrar mucho acerca de la matemática.