Los matemáticos utilizan los paréntesis para representar una estructura algebraica, por ejemplo $ (G, \times)$ . También se utilizan paréntesis para representar pares ordenados (o n-tuplas ordenadas en general), por ejemplo $(x,y)$ .
Mi pregunta: ¿Es la estructura algebraica en realidad un par ordenado formado por conjunto y operación?
Tengo un amigo, y él dice que sí, pero soy poco sospechoso. Gracias.
La situación quizá se aclare si se recuerda que las funciones suelen definirse como conjuntos de pares ordenados . Es decir, una función $f:X \to Y$ es un subconjunto de $X \color{red}\times Y$ con la propiedad adicional de que si $(x, y_1), (x, y_2) \in f \subset X \color{red}\times Y$ entonces debemos tener $y_1 = y_2$ Este último requisito formaliza la noción de que $f$ toma un valor único para cada $x$ en contraposición a una mera relación que puede tener $(x, y_i) \in f$ para muchos $y_i \in Y$ . Así, en el caso de " $\times$ " en $(G, \times)$ siendo un binario representa un conjunto de pares ordenados en $G \color{red}\times G$ incluso podríamos escribir $\times \subset G \color{red}\times G$ aunque hay que tener cuidado de distinguir entre los dos significados de los símbolos " $\times$ " en esta "sentencia" formal. En cualquier caso, el par ordenado $(G, \times)$ tiene como primer elemento el conjunto $G$ y como segundo el conjunto $\times \subset G \color{red}\times G$ es un par ordenado de conjuntos. Confío en el uso potencialmente confuso del símbolo $\times$ no obstante, es lo suficientemente claro como para ser inequívoco; el contexto y el color deberían resolver cualquier duda sobre qué " $\times$ " ¡qué significa!
Nota de edición añadida: A sugerencia de nuestro colega Git Gud (véanse sus comentarios más abajo), he utilizado el tipo de letra rojo para $\times$ como producto cartesiano de dos conjuntos. Esto debería reducir aún más cualquier posibilidad de confusión. Nota final.
Espero que esto ayude. Saludos,
y como siempre,
¡¡Fiat Lux!!
La respuesta a su pregunta es más o menos.
Una forma de pensar en las estructuras algebraicas es que consisten en un conjunto de elementos, y hay (posiblemente) algunas operaciones que se pueden aplicar a los elementos.
Por lo tanto, cuando pensamos de esta manera, necesitamos algún tipo de estructura de datos para contener todas las piezas relevantes si queremos trabajar con ellas de manera teórica de conjuntos.
Por ejemplo, para los grupos, necesitamos una estructura de datos que contenga el conjunto de elementos del grupo, la operación de multiplicación, la operación de inversión y qué elemento es la identidad.
La forma estándar de crear esta estructura de datos es utilizar una 4-tupla ordenada: la primera entrada contiene el conjunto de elementos, la segunda contiene el elemento de identidad, la tercera contiene la operación de inversión y la cuarta contiene la operación de multiplicación. Las operaciones se almacenan en esta 4-tupla en forma de funciones teóricas de conjuntos.
También se pueden utilizar otras estructuras de datos para denotar los grupos, siempre y cuando se puedan extraer estos cuatro datos. Un par ordenado que conste sólo del conjunto de elementos y la operación de multiplicación es una opción popular.
Esta convención también proporciona un bonito atajo notacional: decir "el grupo $(G, 0, -, +)$ " es mucho más conciso que "un grupo cuyo conjunto de elementos llamaremos $G$ cuya operación de grupo denotaremos como $+$ cuyo elemento de negación denotaremos como $-$ y cuya identidad escribiremos como $0$ ".
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