Variedades complejas no-compacto que no son Stein

Question

Estoy estudiando múltiples de Stein, y es claro para mí que compacta múltiples complejos no pueden ser Stein por razones obviamente. Por otra parte, existe algunos colectores complejos no-compactos que no son Stein, de lo contrario cada variedades complejas no-compacto Kähler.

¿Alguien sabe de algunos ejemplos explícitos de superficies complejas no-compactos que no son Stein?

En general, no-no-compacta de Kähler manifolds no son Stein; pero no conozco ningún ejemplo explícito.

Answer 1

Ya no compacto holomorphic colector de dimensión positiva se integra en un complejo espacio Euclidiano, cualquier no-compacto holomorphic colector que contiene compacto holomorphic submanifolds de dimensión positiva no incrustar. Desde el complemento de un punto en $\mathbf{CP}^{2}$ contiene a las familias de los integrados curvas, de hecho, es un no-compacto colector de que no Stein.

Alternativamente, como Jack Lee las notas, si $X$ es compacto y $Y \subset X$ es compacto y tiene complejo de codimension al menos dos, a continuación, $X \setminus Y$ no es compacta pero no Stein (porque cada holomorphic de la función en $X \setminus Y$ se extiende a $X$ por Hartogs teorema. En particular, el complemento de un punto de $Y$ $X = \mathbf{CP}^{2}$ no es Stein.

Answer 2

Cualquier subconjunto abierto no pseudoconvex $\mathbb C^n$ va a hacer. Por ejemplo, $\mathbb C^2$ un aspecto negativo no es convexo, holomorphically porque Teorema de Hartogs extensión indica que cualquier función holomorfa definida en un barrio pinchado de un punto extiende holomorphically en el punto que falta. Por lo tanto, no es Stein.

Answer 3

Como usted ha señalado, Stein colectores son Kähler, entonces, una manera de encontrar no-compacto complejos colectores de que no son Stein es buscar no-compacto complejos colectores de que no son Kähler.

Deje $S$ ser un no-Kähler de superficie compleja (como una de Hopf de la superficie), entonces para cualquier $k > 0$, $S\times\mathbb{C}^k$ es un no-compacto complejo colector de que no es Kähler (submanifolds de Kähler colectores son Kähler). Esta construcción proporciona ejemplos en la dimensión de al menos tres. Como se discutió en este MO pregunta, una de Hopf de la superficie con un punto de quitar es un ejemplo de no-compacto de superficie compleja que no es Kähler.