Buen sustituto de esta integral

Question

Qué es $$\int \frac{4t}{1-t^4}dt$$ is there some kind of substitution which might help .Note that here $ t=\tan(\theta)$

Answer 1

Sustitución no es necesaria. Sin embargo, $u=t^2$ será útil.

Answer 2

Bien a un lado la constante de $4$, tiene

$$\int\frac{t}{1 - t^4}\ \text{d}t$$

Uso

$y = t^2$ so $\text{d}y = 2t\ \text{d}t$

por lo que

$$2\int \frac{1}{1 - y^2}\ \text{d}y = 2\ \text{arctanh}(y) ~~~ \to ~~~ 2\ \text{arctanh}(t^2)$$

Answer 3

Observe que %#% $ #%

Que %#% $ $$1-t^4=1-(t^2)^2$ #% $

La integral se convierte

$$u=t^2$$

Que es igual a

$$du = 2t\,dt$$

La respuesta anterior tiene una fórmula, pero puede llegar más convenientemente usando el método de fracciones parciales.

Answer 4

¿No funciona esto?

$$\int \frac{4t}{1-t^4}dt=\int \frac{2t}{1+t^2}-\frac{-2t}{1-t^2} dt=\ln |\frac{1+t^2}{1-t^2}|+C$$

También $t=\tan \theta$ sustitución funciona bastante bien. $$\int \frac{4\tan \theta}{1-\tan^4 \theta}\sec^2 \theta d \theta=\int \frac {4 \tan \theta }{1-\tan^2 \theta} d\theta=2\int \frac{1+\tan \theta}{1-\tan \theta}-\frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta} d\theta$$

$$2\int \frac{1+\tan \theta}{1-\tan \theta}-\frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta} d\theta=2\int\frac{cos \theta+\sin \theta}{\cos \theta-\sin \theta}+\frac{\cos \theta-\sin \theta}{cos \theta+\sin \theta}d\theta$$

Tenga en cuenta que $(\sin \theta+\cos \theta)'=\cos \theta-\sin \theta$, $(\cos \theta-\sin \theta)'=-\sin \theta-\cos \theta$.

Creo que puedes seguir desde aquí.

Answer 5

Consejo: tenemos $$ \frac{4t}{1-t^4}=-\left (t-1 \right) ^ {-1}-\left (t + 1 \right) ^ {-1} + 2\, {\frac {t} {{t} ^ {2} + 1}} $$