Caracterización de open sistemas en $R^3$ homeomorfa a $R^3$.

Question

Antecedentes:

Por el mapeo de Riemann teorema, para cualquier no-vacío, simplemente se conecta subconjunto abierto $U \subset \mathbb{C}$, $U \neq \mathbb{C}$ existe una biholomorphic mapa (en particular, una homeomorphism) $U \rightarrow \mathbb{D}$ donde $\mathbb{D}$ es la unidad de disco. Desde $\mathbb{D}$ es homeomórficos a $\mathbb{C}$, cualquiera de los dos simplemente se conecta subconjuntos de a $\mathbb{C}$ son homeomórficos. Trivialmente el mismo resultado se tiene para $\mathbb{R}^2$. Me pregunto si un resultado similar puede ser encontrado por los subconjuntos de a $\mathbb{R}^3$. Específicamente, quiero que sepan que abrir los subconjuntos de a $\mathbb{R}^3$ son homeomórficos a $\mathbb{R}^3$ (o la unidad de la bola).

La respuesta a esta pregunta (y este), reclama un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ es homeomórficos a $\mathbb{R}^n$ si y sólo si es contráctiles y "simplemente se conecta al infinito" (por favor, corrígeme si me equivoco). Así como lo que puedo decir, el problema se reduce a la descripción de contráctiles abrir los subconjuntos de a $\mathbb{R}^3$ que se conecta simplemente al infinito. Wikipedia me lleva a creer que aquí, contráctiles simplemente significa "sin agujeros". No he sido capaz de encontrar una definición de "simplemente se conecta al infinito" que yo podía entender.

Pregunta: Mi pregunta es triple:

1. Es cierto que un dominio en $\mathbb{R}^3$ es homeomórficos a $\mathbb{R}^3$ fib es contráctiles y simplemente se conecta al infinito? Hay una simplificación de la suficiente y necesaria condición de que las obras en $\mathbb{R}^3$?
2. Hay una simple suficiente condición que garantiza que un contráctiles, abrir subconjunto de $\mathbb{R}^3$ es homeomórficos a $\mathbb{R}^3$? Por ejemplo, por esta pregunta y la respuesta, parece que la convexidad es una condición suficiente. Es acotamiento una condición suficiente?
3. Puede usted dar un ejemplo de una contráctiles abrir subconjunto de $\mathbb{R}^3$ que no es homeomórficos a la pelota? Cuanto más simple, mejor.

Nota al margen: me parece que la costumbre contraejemplo a la pregunta "son contráctiles $n$-colectores de homeomórficos a la $n$-ball" es la Whitehead colector. Sin embargo, esto me parece una 3-variedad incrustado en 4 dimensiones espacio Euclidiano y por lo tanto no es un subespacio de $\mathbb{R}^3$. Es esta una distinción significativa?

Answer 1

Pre-respuesta. Contráctiles no significa "sin agujeros". "Sin agujeros" es, lamentablemente, carece de sentido. Contráctiles significa que el mapa de identidad es nulo homotópica (que es, hay un mapa de $f: X \times I \to X$ tal que $f(x,0) = x$ $f(x,1) = c$ para un punto de $c \in X$.) Si desea una intuitiva declaración de lo que esto significa, es que poco a poco puede colapsar todo el espacio a la vez a un punto.

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1) Sí. No creo que exista una condición que es mejor/razonablemente seleccionable. Esta condición es en última instancia, el equivalente a decir que el 1-punto compactification es todavía un colector, que tal vez suena mejor, pero es completamente imposible de comprobar.

2) Acotamiento no es una condición suficiente - no es una propiedad topológica de alguna manera. Considerar el mapa de $\Bbb R^3 \to \Bbb R^3$$x \mapsto x/(1+\|x\|)$. Este es un homeomorphism en su (limitada) de la imagen (que es la contenida en el abierto 3-bola). La restricción a la Whitehead colector, nos han abierto un subconjunto de la 3-bola homeomórficos a la Whitehead colector. Un leve generalización de la convexidad que garantiza que usted está homeomórficos a $\Bbb R^3$ está en forma de estrella. Vea aquí.

3) Es un poco mucho para esperar un ejemplo sencillo, ya que evadió Whitehead (de hecho, pensó que contráctiles abierta 3-variedades fueron todos los $\Bbb R^3$ hasta más tarde encontró su contraejemplo). Whitehead el ejemplo es tan simple como usted va a obtener.

Por variantes en Whitehead de la construcción, por la forma, se obtiene una cantidad no numerable de pares no homeomórficos contráctiles abierta 3-variedades. Ver este documento por McMillan.