Demostrar que
$$ \dfrac{(2m)! \cdot (2n)!}{(m)! \cdot (n)! \cdot (m+n)!} $$
es un entero positivo, donde $(m,n) \in \mathbb{Z^{+}}$
Ya he solucionado el uso de Legendre de la Fórmula que establece que $$e_{p}(n)=\sum_{i=1}^{\infty} \bigg\lfloor \dfrac{n}{p^{i}} \bigg\rfloor$$
donde $e_{p}(n)$ es el exponente de un primer $p$$n!$. El problema fue suficiente para mostrar que
$$ e_{p}(2m) + e_{p}(2n) \ge e_{p}(m) + e_{p}(n) + e_{p}(m+n) $$
que puedo mostrar el uso de las propiedades de la función del suelo.
Sin embargo, estoy en busca de un enfoque combinatorio de este problema. Por ejemplo, el uso básico de la combinatoria, que puedo mostrar que el número de maneras de dividir a $A$ objetos en $k$ personas de tal forma que el $i^{th}$ persona recibe $a_{i}$ objetos es
$$ \dfrac{A!}{\displaystyle\prod_{i=1}^{k}{(a_{i})!}} = \dfrac{\left(\displaystyle\sum_{i=1}^k (a_{i})\right)!}{\displaystyle\prod_{i=1}^{k}{(a_{i})!}} $$
aquí, el conjunto de $\{a_{i}\}_{i=1}^k$ es exhaustiva, yo.e,
$ A = \displaystyle\sum_{i=1}^k a_{i} $.
Con esto puedo mostrar los siguientes números enteros
$ \dfrac{(2m)! \cdot (2n)!}{[(m)!]^{2} \cdot [(n)!]^{2} } $
$ \dfrac{(2m)! \cdot (2n)!}{(m-n)! \cdot [(n)!]^2 \cdot (m+n)!} $ ; si $m \geq n$
$ \dfrac{(2m)! \cdot (2n)!}{(n-m)! \cdot [(m)!]^2 \cdot (m+n)!} $ ; si $n \geq m$
Sin embargo, me parece que no puede encontrar una manera de abordar este problema con mi enfoque.
Edit: estoy pidiendo específicamente para una respuesta usando mi combinatoria enfoque como ya he solucionado el uso de la respuesta dada en la pregunta.
Cualquier ayuda será apreciada.
Gracias.
