¿Si $\sum a_n$ y $\sum b_n$ divergen, convergen de $\sum \min\{a_n,b_n\}$ puede?

Question

¿Existen secuencias $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ satisfacer todas las siguientes propiedades?

• $a_n>0$ and $b_n>0$
• $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ van disminuyendo
• $\sum a_n$ y $\sum b_n$ ambos divergen
• $\sum\min\{a_n,b_n\}$ converge

Answer 1

Edit: Uy. Mirando los comentarios veo que esto es exactamente lo que Michael ha estado sugiriendo. Lo siento, estas cosas pasan.

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Sí.

Decir $1=N_1<N_2<\dots$. Definir $a_n$ $b_n$ así: Supongamos $N_j\le n<N_{j+1}$.

Si $j$ es impar conjunto $a_n=1/n^2$, $b_n=1/N_j^2$.

Si $j$ es incluso $a_n=1/N_j^2$, $b_n=1/n^2$.

A continuación,$\min(a_n,b_n)=1/n^2$. Un poco la cabeza-rasguño muestra que ambas secuencias están disminuyendo. Y es claro que si tomamos cada una de las $N_{j+1}-N_j$ lo suficientemente grande, a continuación, tanto en $\sum a_n$ $\sum b_n$ divergen (por ejemplo si $N_{j+1}-N_j>N_j^2$).

(Estoy asumiendo que la disminución de los medios no creciente. Usted podría fácilmente agitan el de arriba un poco para conseguir estrictamente decreciente secuencias.)