Prueba $f(x)\le0$ si $f(0)=0$ y $\int_0^xf(t)\mathbb dt\ge xf(x)\quad$

Question

$f(x)$ es una función diferenciable de real valor que satisface después de condiciones: $$f(0)=0$ $ $$\int_0^xf(t)\mathbb dt\ge xf(x)\quad$ $ probar que para todo $x>0$ % $ $$f(x)\le0$

Intenté pero no podría derivar la conclusión de las condiciones dadas. $f(x)$ parece que habría que reducir alrededor de $x=0$ pero no necesariamente para todos los $x$.

Answer 1

Sugerencia. Considerar la función $F(x):=\frac{1}{x}\int_0^x f(t)dt$ y demuestran que:

i) $\lim_{x\to 0^+} F(x)=f(0)=0$.

II) $F(x)\geq f(x)$ $x>0$.

III) $F'(x)\leq 0$ $x>0$.

Entonces $F(x)$ es decreciente y $0\geq F(x)\geq f(x)$ $x>0$.

Answer 2

Sugerencia: escribir es como $$\int_0^x \big(f(t)-f(x)\big) dt \ge 0$$

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[ EDITAR ] lo anterior implica que para un determinado $x$, existe un $c \in (0,x)$ tal que $f(c) \ge f(x)$. Por lo tanto, el conjunto de $C_1 = \{ c \in (0,x) \mid f(c) \ge f(x)\}$ no está vacío y, de ser obviamente limitada, tiene un infimum $0 \le c_1 = \inf C_1 \lt x$. También, se sigue por la continuidad que $f(c_1) \ge f(x)$.

Repita para el intervalo de $(0,c_1)$ y así sucesivamente, la construcción de la disminución de la secuencia $x \gt c_1 \gt c_2 \gt \cdots$$f(x) \le f(c_1) \le f(c_2) \le \cdots$. Deje $c = \lim_{n \to \infty} c_n$, luego de nuevo por la continuidad de $f(x) \le f(c)$.

Si $c=0$ $f(x) \le f(0) = 0$ y la prueba está completa. De lo contrario, $c \gt 0$ y sigue con bastante facilidad que $f(t) \le f(x)$$t \in (0,c)$. Si $f$ es constante en $(0,c)$, sin embargo, de nuevo, de nuevo, por la continuidad de $f(x) \le f(c) = f(0) = 0$. De lo contrario, debe existir una $t_0 \in (0,c)$ cuando es estrictamente $f(t_0) \lt f(c)$. Pero entonces la desigualdad estricta se mantenga en un barrio de $t_0$ que, junto con el $f(t) \le f(c)$, causaría $\int_0^c \big(f(t)-f(c)\big) dt \lt 0$ que contradice la premisa.