¿Cuáles son los números?

Question

El título es un poco de clickbait, pero creo que es justificado.

¿Cómo llegué a esta pregunta

En la programación, muchos lenguajes de programación tienen los conceptos de una jerarquía de tipos numéricos. A menudo los tiempos iba a ser un tipo numérico para servir como un supertipo de los enteros, reales, racionales y cualquier otro tipo de números de ese idioma en particular pasa a tener. Este supertipo es a menudo llamado simplemente el número, las propiedades que tiene son típicamente totalmente a merced de la lengua diseñadores (es decir, los que parecen ser arbitraria o motivados por la implementación del lenguaje).

Al principio, traté de imaginar lo que sería el próximo paso posible en la jerarquía familiar tipos numéricos: compleja <: reales <: racionales <: enteros <: números naturales, pero nada viene a la mente. Más aún, en casi ningún lenguaje de programación es el caso de que, por ejemplo, un entero es un tipo de racional o racional, es una especie de número entero. Pero a menudo comparten algunas de las propiedades del número del tipo que he mencionado anteriormente.

La pregunta correcta

La búsqueda de diferentes tipos de números en matemáticas, me di cuenta de que hay un gran número de objetos matemáticos finalmente se llama "números" (de algún tipo). Por ejemplo, p-ary números, la mitad de enteros, infinitesimals, y realmente mucho, mucho más. Las propiedades comunes podría extracto de la descripción que estos objetos suelen ser equipado con dos operaciones binarias (de campo axiomas) y el fin de la relación, a pesar de sumas y productos salvajemente varían en su comportamiento. Otras propiedades, finalmente, puede aparecer o desaparecer, dependiendo de las particularidades del tipo numérico en cuestión. Pero esto no puede ser suficiente para seleccionar sólo los números! Hay otros campos que tienen todas las mismas propiedades. Entonces, ¿cómo distinguir los números de los no-números?

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La respuesta que se me ocurrió hasta ahora

Hasta ahora, la única "definición" de lo que podía pensar es que los números son tales conjuntos, donde las propiedades del conjunto de elementos inmateriales (como en urelements). Esto, sin embargo, clasificar algunos grupos, anillos y campos, que no son generalmente llamados "números" como los números, pero sin duda excluir campos de matrices, funciones computables, polinomios, etc. Es esta una problemática respuesta? Es francamente mal?

Answer 1

Hay una muy famosa discusión en Wittgenstein Investigaciones Filosóficas donde habla de lo que se conoce como "semejanza familiar de los conceptos".

En el §66, toma el ejemplo de los juegos, y escribe

considerar, por ejemplo, el proceso que llamamos "juegos"... mira y ver si hay algo común a todos.

Él considera diversos ejemplos y señala sus similitudes y diferencias, y concluye

El resultado de este examen es: vemos una complicada red de similitudes superpuestas y entrecruzadas: a veces en general las similitudes. ... Creo que no hay mejor expresión para caracterizar estas similitudes que "parecidos familiares"; para los diversos las semejanzas entre los miembros de una familia: construir, características, color de los ojos, la marcha, el temperamento, etc. etc. se superponen y se entrecruzan en el mismo manera. – Y yo diga: "juegos" formar una familia.

Wittgenstein sugiere que muchos de los conceptos son como este: para muchos de los conceptos que X es un error buscar algo en común para todos y sólo los Xs. En lugar de la Xs presentan una semejanza familiar pero no comparten un rasgo distintivo en común).

Él va a dar otro ejemplo -- y esta es la razón por la que la discusión es relevante para la cuestión! -- a saber, el concepto de un número.

... los tipos de número formar una familia, de la misma manera. ¿Por qué llamamos a algo que un "número"? Bien, tal vez porque tiene un directo relación con varias cosas de las que hasta ahora han sido llamados número; y esto puede ser dicho para darle una relación indirecta a otras cosas que nos llaman con el mismo nombre. Y ampliamos nuestro concepto de número como en girar un hilo hacemos girar la fibra en fibra. Y el la fuerza de la rosca no reside en el hecho de que alguno de fibra corre a través de toda su longitud, pero en la superposición de muchas fibras.

Ahora, si quiero, para este o aquel propósito,

Me puede dar el concepto de "número" límites rígidos ... es decir, el uso de la palabra "número" para un rígidamente limitado concepto,

Pero Wittgenstein dice que puedo (y muy a menudo) utilizar un concepto tan

la extensión del concepto no está cerrado por una frontera. Y esto es cómo podemos hacer uso de la palabra "juego". Para saber cómo es el concepto de un juego limitada? Lo que todavía cuenta como un juego y lo que ya no? Se puede dar el límite? No. Usted puede dibujar uno; ninguno ha sido hasta ahora dibujado. (Pero que nunca preocupado antes cuando se utiliza la palabra "el juego".)

Y lo mismo para el "número": de manera informal, se puede y se estira el concepto de diversas maneras en las nuevas aplicaciones. Y no hay un hilo común a todas estas aplicaciones: es lo suficientemente bueno que nuestro uso tiene bastante semejanza familiar antes de usos.

Moral: nos puede venir para arriba con restrictivo de la técnica de las definiciones de "número" de esta o aquella finalidad técnica, pero es erróneo buscar una definición clara de "número" en todas sus matemático utiliza. En su informales de uso general, es un poco desordenado semejanza familiar concepto.