Superficie de dos regiones polares

Question

Intento encontrar la región dentro de r=sin y fuera de r=1+cos. Mi problema son mis límites de integración. Obtengo una intersección en $\frac 2$ y uno en el poste. ¿Cuáles son mis límites para la integral? sen intersecará el polo en 0 o pero 1+cos sólo intersecará el polo en . A partir de la gráfica esta es la integral que se me ocurrió:

$$\frac12\int_{\frac 2}^(sin)^2-(1+cos)^2d$$ ¿Es correcto?

Esta es la foto:

¿Cómo se gestionan las intersecciones que se producen en ángulos diferentes?

Edit : Nueva foto, la región roja es lo que estoy buscando.

Answer 1

Toda el área es el dominio de la función sobre toda la coordenada polar, ¿correcto? Todos los valores 0 < $2\pi$ están en tu gráfica (hace tiempo que no hago coordenadas polares así que ten paciencia conmigo). Si ese es el caso, entonces sus límites son de $\frac\pi2$ a $\pi$ . Tenías razón; sin embargo, esa es la diferencia de área dentro del cuadrante superior izquierdo. Tu respuesta es correcta, y extremadamente ingeniosa como solo usaste el cuadrante superior izquierdo ya que lo de arriba a la derecha no se usa. Yo me hubiera pasado horas intentando resolverlo. De hecho, lo estuve intentando durante un rato hasta que volví a mirar tu respuesta y vi cómo lo habías hecho. Es completamente correcta y ¡bien hecha!

Answer 2

Para $\pi /2 \leq \theta \leq \pi$ que es la región que desea, la función $r = F(\theta) = \sin \theta$ es su función "externa", y $r = g(\theta) = 1 + \cos \theta$ es su función "interna". Aquí tienes dos opciones: puedes integrar $F(\theta)-g(\theta)$ en un solo movimiento, como ha hecho usted, o puede encontrar las zonas delimitadas por $F(\theta)$ et $g(\theta)$ y restarlos. De cualquier forma, son perfectamente equivalentes.

Deberá utilizar la fórmula del área polar $A = \frac{1}{2} \int_\alpha^\beta r^2 \, d\theta$ para cada curva:

$$\begin{align} A &= \frac{1}{2} \int_\alpha^\beta \left( F^2- g^2 \right) \, d\theta \\ &= \frac{1}{2}\int_{\pi/2}^{\pi} \left[ (\sin\theta)^2 - (1 + \cos\theta)^2 \right] \, d\theta \end{align}$$

Una comprobación rápida con el calculadora me dice que esto se reduciría a $$\ \left[ -\theta - 2\sin(\theta) - \sin(\theta)\cos(\theta)\right]_{\pi/2}^\pi$$ así que voy a hacer una conjetura y decir que se trataba de un problema con la calculadora.

Así que, para concluir, ¡tu integral ha dado en el clavo!