intersección de hypercube e hiperesfera

Question

Hay un número de preguntas similares que ya (por ejemplo este), pero por lo que puedo ver, ninguno muy corta para mí.

En $n$-dimensional en el espacio euclidiano, en un hipercubo $H$ con longitudes de lado $2A$ está centrado en el origen. Así que es un hypersphere $S$ radio $x$. ¿Cuál es la fracción de volumen de la hipercubo $H$ que también está dentro de la hypersphere $S$, es decir, ¿cuál es el volumen de $H\cap S$?

Como el cálculo de la fracción con respecto a la hipercubo es trivial simplemente dividiendo por su volumen en el final, todo se reduce a calcular el volumen de la intersección. Mi primera idea fue separado en tres casos diferentes:

1. Si $x<A$ el hypersphere está totalmente contenida en el hipercubo. Entonces, el volumen es simplemente el volumen de la hypersphere, para la que no hay fórmulas analíticas.
2. Si $x^2> n \cdot A^2$, el hipercubo está totalmente contenida en el hypersphere. En este caso, el volumen es simplemente que el hipercubo, que es, $(2A)^n$.
3. Para valores intermedios de $x$, la intersección se da como el volumen de la hypersphere menos $2n$ hyperspherical tapas, para los que también hay una forma cerrada de la solución (por ejemplo, aquí)

Después de que mi cálculo dieron mal los resultados, que se vio obligado a admitir que el caso (3) es más difícil de lo que pensaba, porque tan pronto como el ángulo de apertura de la hypercaps es mayor que $\pi/4$, comienzan a entrecruzan a lo largo de los bordes de la hipercubo, mientras que las esquinas están todavía fuera de la intersección de volumen. Para $n=3$, esto se puede ver en este gráfico, el cual fue generado por wolframalpha.

Por lo tanto, la solución propuesta en (3) haga doble cuenta estos volúmenes.

Me parece que no puede venir para arriba con una solución general para calcular esto, porque contando (y calcular) la intersección de las áreas es muy tedioso.

Hay alguna forma cerrada, analítica solución para este problema?

Answer 1

No estoy seguro si esto va a ser heplful, pero no es menos superposición problema para configurar las integrales por los volúmenes de una de las esquinas (para el caso 3 es distinto, gorras o discontinuo esquinas):

$$\int_{\sqrt{R^2-(n-1)A^2}}^{A}\int_{\sqrt{R^2-(n-2)A^2-x_1^2}}^A...\int_{\sqrt{R^2-A^2-x_1^2-...-x_{n-2}^2}}^A\int_{\sqrt{R^2-x_1^2-...-x_{n-1}^2}}^A~dx_ndx_{n-1}dx_{n-2}...dx_1.$$

Deje que el volumen de este ser $C(n,R,A)$ hay $2^n$ de esos rincones en igualdad de volumen, por lo que su intersección del volumen es

$$2^n(A^n-C(n,R,A)).$$

Tan sólo tenemos que calcular la esquina integral.

Tal vez la fórmula $$C(n,R,A)=\int_{\sqrt{R^2-(n-1)A^2}}^A C(n-1, \sqrt{R^2-x_1^2}, A)~dx_1$$

podría ser útil para inductivamente calcular las integrales...

Directamente como carsten comenzó:

\begin{align*} V= & \int_{\sqrt{R^{2}-(n-1)A^{2}}}^{A}\int_{\sqrt{R^{2}-(n-2)A^{2}-x_{1}^{2}}}^{A}...\int_{\sqrt{R^{2}-A^{2}-x_{1}^{2}-...-x_{n-2}^{2}}}^{A}\int_{\sqrt{R^{2}-x_{1}^{2}-...-x_{n-1}^{2}}}^{A}~dx_{n}dx_{n-1}dx_{n-2}...dx_{1}\\ = & \int_{\sqrt{R^{2}-(n-1)A^{2}}}^{A}\int_{\sqrt{R^{2}-(n-2)A^{2}-x_{1}^{2}}}^{A}...\int_{\sqrt{R^{2}-A^{2}-x_{1}^{2}-...-x_{n-2}^{2}}}^{A}\left(A-\sqrt{R^{2}-x_{1}^{2}-...-x_{n-1}^{2}}\right)\\ = & \int_{\sqrt{R^{2}-(n-1)A^{2}}}^{A}\int_{\sqrt{R^{2}-(n-2)A^{2}-x_{1}^{2}}}^{A}...\int_{\sqrt{R^{2}-A^{2}-x_{1}^{2}-...-x_{n-3}^{2}}}^{A}\left[Ax\right]_{\sqrt{R^{2}-A^{2}-x_{1}^{2}-...-x_{n-2}^{2}}}^{A}+\left[\frac{1}{2}\left(x_{n-1}\sqrt{R^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\dots-x_{n-1}^{2}}+r^{2}\tan^{-1}\left(\frac{x_{n-1}}{\sqrt{R^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\dots-x_{n-1}^{2}}}\right)\right)\right]_{\sqrt{R^{2}-A^{2}-x_{1}^{2}-...-x_{n-2}^{2}}}^{A}\\ = & \int_{\sqrt{R^{2}-(n-1)A^{2}}}^{A}\int_{\sqrt{R^{2}-(n-2)A^{2}-x_{1}^{2}}}^{A}...\int_{\sqrt{R^{2}-A^{2}-x_{1}^{2}-...-x_{n-3}^{2}}}^{A}\left(A^{2}-A\sqrt{R^{2}-x_{1}^{2}-...-x_{n-2}^{2}}\right)+\frac{1}{2}\left(A\sqrt{R^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\dots-x_{n-2}-A^{2}}+\left(R^{2}-A^{2}-x_{1}^{2}-...-x_{n-2}^{2}\right)\tan^{-1}\left(\frac{A^{2}}{\sqrt{R^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\dots-x_{n-2}^{2}-A^{2}}}\right)\right)-\frac{1}{2}\left(\sqrt{R^{2}-A^{2}-x_{1}^{2}-...-x_{n-2}^{2}}A+\left(R^{2}-A^{2}-x_{1}^{2}-...-x_{n-2}^{2}\right)\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{R^{2}-A^{2}-x_{1}^{2}-...-x_{n-2}^{2}}}{A}\right)\right)\\ = & \int_{\sqrt{R^{2}-(n-1)A^{2}}}^{A}\int_{\sqrt{R^{2}-(n-2)A^{2}-x_{1}^{2}}}^{A}...\int_{\sqrt{R^{2}-A^{2}-x_{1}^{2}-...-x_{n-3}^{2}}}^{A}\left(A^{2}-A\sqrt{R^{2}-x_{1}^{2}-...-x_{n-2}^{2}}\right)+\frac{1}{2}\left(R^{2}-A^{2}-x_{1}^{2}-...-x_{n-2}^{2}\right)\left(\tan^{-1}\left(\frac{A^{2}}{\sqrt{R^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\dots-x_{n-2}^{2}-A^{2}}}\right)-\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{R^{2}-A^{2}-x_{1}^{2}-...-x_{n-2}^{2}}}{A}\right)\right)\\ =... \end{align*}