Condiciones de contorno en el agujero negro euclidiano de Schwarzschild

Question

Esta pregunta se basa en la página 71 de las notas de Thomas Hartman sobre La gravedad cuántica y los agujeros negros .

El agujero negro euclidiano de Schwarzschild

$$ds^{2} = \left(1-\frac{2M}{r}\right)d\tau^{2} + \frac{dr^{2}}{1-\frac{2M}{r}} + r^{2}d\Omega_{2}^{2}$$

se obtiene a partir del agujero negro lorentziano de Schwarzschild mediante la rotación de Wick $t \to -i\tau$ .

¿Por qué el hecho de que las coordenadas deban ser regular en el origen implican que la coordenada angular debe ser identificado como

$$\tau \sim \tau + 8\pi M?$$

Answer 1

Esto es para que no haya una "singularidad cónica" en el horizonte (no en el origen). Permítanme que me explaye.

En general, ¿cómo se sabe si un espaciotiempo tiene una singularidad de curvatura? Bueno, si alguna de las componentes de la métrica diverge o desaparece en algún punto, entonces sabes que puedes estar en problemas. Sin embargo, todavía hay que determinar si se trata de una singularidad de curvatura (es decir, una verdadera singularidad) o de una singularidad de coordenadas (es decir, que se ha elegido un mal sistema de coordenadas). La forma más segura de determinar si es simplemente una singularidad de coordenadas es encontrar un sistema de coordenadas en el que la métrica sea regular en el punto de interés.

Para la métrica de Schwarzschild, conocemos la singularidad en $r=2M$ es una singularidad de coordenadas porque existe una transformación de coordenadas en la que la métrica es suave en ese punto (coordenadas de Kruskal o coordenadas de Eddington-Finkelstein).

Del mismo modo, si se enfrentara a una métrica $$ ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2$$ puede preocuparse de que el espacio sea singular en $r=0$ . Sin embargo sabes que esto es simplemente una singularidad de coordenadas porque si haces la transformación de coordenadas $x = r \, \cos\theta$ y $y=r\, sin\theta$ la métrica es ahora $$ds^2 = dx^2 +dy^2$$ y es habitual en todas partes.

Sin embargo, ¡hay una gran trampa! Para que esa transformación de coordenadas esté bien definida $\theta$ tenía que ser periódica con el período $2\pi$ . Si no fuera así, entonces tendríamos un espacio en el que tomamos una hoja de papel, recortamos un trozo de ella y lo pegamos, formando un cono. Por tanto, hay una singularidad justo en la punta, y la llamamos "singularidad cónica".

Pasando al caso de los agujeros negros euclidianos, si se hace una transformación de coordenadas $\rho^2 = 8M(r-2M)$ y expandirse cerca de $\rho =0$ se obtiene algo así como $$ds^2 = d\rho^2 + \rho^2 \beta^2 d\tau^2+ \cdots$$ Por lo tanto, para que $\rho=0$ para seguir siendo simplemente una singularidad de coordenadas la coordenada $\beta \tau$ debe tener periodicidad $2\pi$ lo que significa $\tau$ debe tener periodicidad $2 \pi/\beta$ . Como ejercicio divertido, determine $\beta$ ¡!