Observables del modelo de Ising

Question

¿Hay una fórmula o ecuación relativa $\langle E\rangle$ y $\langle M\rangle$ (spin promedio por sitio) y $\langle E^2\rangle$ $T$ de temperatura para el modelo de Ising enrejado cuadrado a cero campo magnético? Han hecho algunas simulaciones y saber lo que los gráficos se suponen para parecer aproximadamente, pero existe alguna expresión aseado para ellos?

¿Y allí se conoce Cuáles son las funciones exactas de tamaños de red finita?

Answer 1

Modelo de onsager encontrar la función de partición del 2D periódico plaza de celosía (toroidal límites) modelo de Ising. Podría decirse que es uno de los más elegantes de la prueba de la moderna mecánica estadística.

El artículo original se puede encontrar aquí (se necesita un acceso institucional)

L. Teoría De Onsager, "Cristal De Estadísticas. I. Un Modelo de Dos Dimensiones con una Orden-Desorden de Transición", Phys. Modif. (65), 1944. http://prola.aps.org/abstract/PR/v65/i3-4/p117_1

Aunque he encontrado por ahí en algún servidor de la universidad: http://www.colorado.edu/physics/phys7230/phys7230_sp08/Onsager1944.pdf

En esencia, se obtiene la función de partición $$Z(\beta,N,H=0)=(2\cosh(2\beta J) e^I)^N$$ con $$I=\frac{1}{2\pi}\int_0^\pi d\phi\ln\left(\frac{1}{2}\left[1+(1-\kappa^2\sin^2\phi)^{1/2}\right]\right)$$ donde $$\kappa=\frac{2\sinh(2\beta J)}{\cosh^2(2\beta J)} $$

Tradicional canónica conjunto de técnicas que se aplican a partir de ahí. Tenga en cuenta que la energía libre asociada a $Z(\beta,N,0)$ no es analítica y que una transición de fase surge cuando $\kappa=1$ . Esto predice correctamente que el $T_c=\frac{2J}{k\ln(1+\sqrt{2})}$

Answer 2

Sí, estas ecuaciones existen y se pueden derivar de la función de partición en respuesta de JGab.

La energía interna por giro es: $$u(\beta) = - \frac{\partial}{\partial \beta} \left( \ln(2) + \frac{1}{8 \pi^2} \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d} q_1 \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d} q_2 \\\ln \left[ \big( 1 - \sinh(2 \beta J) \big)^2 + \sinh(2 \beta J) \left( 2 - \cos q_1 - \cos q_2 \right) \right] \right)$ $

Es la magnetización espontánea por giro: $$m_s(T) =\begin{cases} \left( 1 - \sinh^{-4} (2 \beta J) \right)^{\frac{1}{8}} & \text{for } T < T_c \\ \hskip 1.5cm 0 & \text{for } T \geq T_c \end{casos} $$ nota que estrictamente hablando no es el % de magnetización $\langle m \rangle$pediste, pero su límite $$m_s = \lim_{B \rightarrow 0^+} \lim_{N \rightarrow \infty} \langle m \rangle$ $ los dos límites dónde no ir. Ver esta pregunta para una discusión de este punto importante.