Cambio de orden de integración de una integral doble

Question

¿Cuál es el integral equivalente a $$\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\sin x}f(x, y)dydx$ $ para hacer un cambio en el orden de integración?

Answer 1

Dibuja una imagen. Estamos integrando$f(x,y)$ sobre el "primer" arco completo de la curva sinusoidal. Asumimos que$f(x,y)$ está "bien comportado" suficiente para que el intercambio sea válido.

Para cualquier valor de$y$, la variable$x$ viaja de$\arcsin y$ a$\pi-\arcsin y$. Y luego$y$ viaja de$0$ a$1$. Así, nuestra integral puede ser reescrita como$$\int_0^1 \left(\int_{\arcsin y}^{\pi-\arcsin y} f(x,y)\,dx\right)\,dy.$ $

Answer 2

$\large\mbox{No pictures !!!. Use Theta function.}$\begin{align} &\color{#ff0000}{\large\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\sin\left(x\right)}{\rm f} \left(x, y\right)\,{\rm d}y\,{\rm d}x} = \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1}{\rm f} \left(x, y\right)\Theta\left(\sin\left(x\right) - y\right)\,{\rm d}y\,{\rm d}x \\[3mm]&= \int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi}{\rm f}\left(x, y\right) \Theta\left(\sin\left(x\right) - y\right)\,{\rm d}x\,{\rm d}y \\[3mm]&= \int_{0}^{1}\left[% \int_{0}^{\pi/2}{\rm f}\left(x, y\right) \Theta\left(\sin\left(x\right) - y\right)\,{\rm d}x + \int_{0}^{\pi/2}{\rm f}\left(\pi - x, y\right) \Theta\left(\sin\left(x\right) - y\right)\,{\rm d}x \right]\,{\rm d}y \\[3mm]&= \color{#ff0000}{\large\int_{0}^{1}\left\{% \int_{\arcsin\left(y\right)}^{\pi/2} \left[{\rm f}\left(x, y\right) + {\rm f}\left(\pi - x, y\right)\right] \,{\rm d}x \right\}\,{\rm d}y} \end {Alinee el}