Demuestre que$a \leq 0$ if$a \leq \frac 1 n$ para todos$n$

Question

La pregunta completa dice: Supongamos que$a$ es un número que tiene la propiedad que para cada$n \in \mathbb{N}$,$a \leq 1/n$. Probar $a \leq 0$.

¿Hay alguna manera de demostrar esto usando la característica de Archimedean, o es algo relacionado al Axiom de la Completitud? El problema con la Propiedad de Archimedean es que llego a$a< \epsilon$ pero de ahí no puedo concluir nada acerca de si$a \leq 0$ porque$\epsilon > 0$.

Answer 1

Suponer que $a>0$. Entonces por la Propiedad de Arquímedes, existe un número natural$n$ para que$1/n<a$. Pero esto es una contradicción. Entonces$a\leq0$ if$a\leq 1/n$ para todos$n$.

Answer 2

Suponga que$a>0$, entonces existe algún$\epsilon$ tal que$0<\epsilon<a$.

Deje$N=[\epsilon]+1$, entonces$\frac{1}{N}<\epsilon<a$, lo que contradice a eso para cada$n∈N, a≤1/n$.

Así que,$a\leq0$. [QED]

Arriba está implícito en las respuestas de @ Daniel's y @ lhf.

Answer 3

No daré la respuesta completa a esto (a propósito).

Pero aquí hay alguna intuición: si usted tiene un número positivo, ¿qué puede decir acerca de ese número positivo en comparación con los números$1/n$ para cada n?

Comience con algo concreto, como por ejemplo 0.1. No puede tener la propiedad que usted menciona ... ¿por qué no?

La misma razón funciona para todos los números positivos.

Answer 4

Si$a \leq 1/n$ para todos$n \in \mathbb{N}$, entonces$a \le \inf \{ 1/n : n \in \mathbb{N} \}=0$. Ahora, para probar que el inf es$0$, necesitas la Propiedad de Archimedean. (El inf siendo 0 es en realidad equivalente a la Propiedad de Arquímedes.)

Answer 5

En otras palabras, pruebe que$a\not>0$. Suponga que$a>0$, ¿qué le dice acerca de algunos$n$?