Cómo probar la siguiente desigualdad sin expansión

Question

$M^k \le 2^r < M^{k+1}$

Donde$M>1 , k>0$ para algunos$r$.

Simplemente le dice que existe un$2^r$ entre$M^k$ y$M^{k+1}$. por ejemplo:

Si$M=3$,$k=1$ entonces$$M^k = 3, \quad M^{k+1} = 9$ $ y existe$4$ y$8$ entre$3$ y$9$. Es decir,$2^2$ y$2^3$

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Editar: (TB)

Sea$M \geq 2$ y$k \geq 1$ enteros. ¿Cómo puedo probar que existe un número entero$r$ tal que$$M^{k} \leq 2^r \lt M^{k+1}\quad?$ $

Answer 1

La pregunta es una variación sobre el hecho bien conocido de que cualquier verdadero intervalo de longitud mayor que $1$ contiene al menos un entero.

Sugerencia: Suponga que $a$ $b$ son números reales positivos tales que $b\ge 2a$. A continuación, $a\le 2^r<b$ donde $r=\max R$ con $$ R=\{n\ \text{integer}\mid 2^n<b\}. $$ Por supuesto, varias cosas deben ser verificados antes de que uno puede llamar a esto una prueba, para empezar, que $a=M^k$ $b=M^{k+1}$ es admisible la elección, ya que el conjunto $R$ es no vacío y, de hecho, tiene un máximo...

Después de todo esto es hecho, uno puede comprobar que $r'=\min R'$ funciona igual de bien, con $$ R'=\{n\ \text{integer}\mid 2^n\ge a\}. $$

Answer 2

La forma más sencilla de estado, esto es, utilizando el logaritmo natural : la desigualdad $$ M^k \le 2^r <M^{k+1} $$ es equivalente a $$ k \log M \le r \log 2 < (k+1) \log M $$ y, de nuevo, equivalente a $$ k \left( \frac{\log M}{\log 2} \right) \le r < (k+1) \left( \frac{ \log M}{ \log 2} \right). $$ que claramente tiene una solución, porque este es preguntando si existe un entero en el intervalo de $[ k(\log M / \log 2), (k+1) ( \log M / \log 2 ) )$. Esto es posible debido a que $M \ge 2$, por lo tanto la fracción de los logaritmos es mayor que $1$ y el intervalo de longitud mayor que $1$.

Espero que ayude,

Answer 3

Aquí hay otro enfoque. Sea$\lg x$ la base logarítmica$2$ de$x$. Si$M\ge 2$, entonces$\lg M \ge 1$, así que$\lg M^{k+1} - \lg M^k = (k+1)\lg M - k\lg M = \lg M \ge 1$. Es decir, la longitud del intervalo$\left[\lg M^k, \lg M^{k+1}\right)$ es al menos$1$, por lo que el intervalo debe contener un número entero$r$. Entonces ...?

Añadido: A pesar de que se ven muy diferentes, esta solución y Didier son realmente muy estrechamente relacionados. Puede resultarle útil intentar ver por qué su$\lg M^k \le r < \lg M^{k+1}$, y su$r' = \lceil \lg M^k \rceil$ a menos que$r = \lfloor \lg M^{k+1} \rfloor$ es un entero, en cuyo caso su$\lg M^{k+1}$.