Extraño problema de colorear

Question

Estoy teniendo algunos problemas de razonamiento a través de un problema en particular. Considere la posibilidad de un el problema en el que me de color de todos los puntos en $\mathbb{R}^3$ con los colores rojo, verde, azul. Quiero demostrar que todos los reales positivos representa la distancia entre dos puntos de uno de estos colores (un color alcanza todas las distancias). Tengo un la sensación de que este es en cierta medida un "asumir en aras de la contradicción" tipo de prueba. Digamos que no hay ningún color que llega a todas las distancias, es decir, el rojo no alcanzar la $d_{r},$ azul no logran $d_{b},$ verde y no no alcanzar $d_{g}.$ $d_{r}$ representa la distancia entre el azul o el verde puntos, $d_{b}$ representa la distancia entre el rojo o el verde de los puntos, y $d_{g}$ representa la distancia entre el rojo o el azul puntos. Sin embargo, una vez que llegar a este punto, me estoy quedando sin ideas de por dónde se mueven con esta prueba. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Supongamos que el rojo, el azul, el verde no alcanzar $d_r$, $d_b$, $d_g$ respectivamente, con $d_r \ge d_b \ge d_g$. Yo voy a dejar a usted para manejar el caso en que no hay punto rojo. De lo contrario, tomar un punto rojo $p_r$. A continuación, la esfera de $S$ radio $d_r$ centrada no contiene sólo el azul y el verde. Si todo es verde, verde alcanzaría $d_g$ para cualquiera de los dos puntos a distancia$d_g$$S$, por lo que hay al menos un punto azul $p_b$$S$. La intersección de a $S$ con la esfera de radio $d_b$ centrada en $p_b$ es un círculo verde de radio $ y > d_b/2 \ge d_g/2$, por lo que este círculo contiene dos puntos a distancia $d_g$, contradicción.

Answer 2

Considere un tetraedro de longitud lateral$x\in\mathbb{R}$. Por principio de casilla, al menos dos vértices son del mismo color. Por lo tanto, la distancia$x$ se representa por la distancia entre dos puntos del color.