Teoría numérica, demuestre que$10m+n\equiv 0 \pmod {11}$

Question

Suponga que$m, n$ son dos enteros distintos de cero, si$m^2+n^2$ puede dividirse por$mn$, pruebe que$10m+n\equiv 0 \pmod {11}$.

He intentado algunas maneras,$m^2+n^2=kmn$, así que$m|n^2$ y$n|m^2$, pero no puedo establecer una conexión con el número$11$, gracias por ayudarme!

Answer 1

Tenemos $m^2+n^2-kmn=0$ para algunos entero $k$.

Para $k$ fijo, vamos a denotar por $M,N$ los valores principales (entre $0$$10$) de las raíces de la ecuación anterior toma mod $11$, lo que minimiza la suma de $m+n$ que $M\neq M$.

Podemos suponer WLOG por la simetría que $M> N\geq0$

Consideremos la ecuación de $x^2+N^2-kNx=0=x^2-sx+p$ donde $s,p$ son la suma y el producto de las raíces, respectivamente. Sabemos que $x_1=M$ es una raíz.

Tenemos $p=x_1x_2=N^2=Mx_2\rightarrow x_2=\frac{N^2}{M}$ $(M>0)$

Desde $M,N$ son las raíces de tal forma que la suma se reduce al mínimo, tenemos $M+\frac{N^2}{M}\geq M+N \rightarrow N\geq M$ (asumiendo $N\neq 0$), lo cual es una contradicción.

Si $N=0$,$M=0$$N=M$, lo que también es una contradicción.

Por lo tanto, no hay raíces cuya distintos valores principales de minimizar la suma de $m+n$, lo que significa que las raíces son necesariamente iguales (principal-valor-sabio, mod $11$)

Por lo tanto, $m\equiv n \pmod {11}$

Answer 2

Como la respuesta de Avi, probaré$m=n$, usando la ecuación cuadrática.

Como$ mn | m^2+n^2$, existe un número entero positivo$k$ tal que$kmn=m^2+n^2$. En otras palabras,$$x^2-knx + n^2=0 $ $ tiene una solución entera.

Esto significa que$$\Delta=(k^2-4)n^2$$ is a square, so $ k = 2$ is a square. This is only possible when $ k \ ge 3$, as when $ (k-1) -4 <k ^ 2 $.

Cuando nosotros tenemos $, we have $.

(Observación: Asumí que$k=2$ y$m=n$, así que$m>0$ debe ser positivo. Si no, es posible que$n>0$ y la declaración del OP no sea verdad.

Answer 3

No sé si es kosher poner media respuesta fuera de los comentarios, pero con el fin de conseguir más atención: Creo que la solución dada falta algo lindo, pero no puedo resolverlo. Nota:

ps

No sé por qué creo que esto da más información que sólo observar

ps

Pero me gustó el$$(10m+n)^2 = 100m^2+20mn+n^2 \equiv 99m^2+m^2+22mn-2mn+n^2 = (m-n)^2 \pmod{11}.$ y$$10m+n \equiv -m+n \pmod{11}$ no quería perderlo. Es seguro que parece que esta observación debe tener un punchline lindo ...?