Cuestión sobre las definiciones "equivalentes" para la pequeña dimensión inductiva de los espacios topológicos

Question

$\DeclareMathOperator{\ind}{ind}$He estado leyendo a través de este documento, tratando de conseguir un mejor manejo de las interrelaciones entre las diversas nociones de dimensión topológica, y me encontré con algo que sospecho que es incorrecto (o al menos haciendo uso de una simple suposición). Aquí está una (ligeramente parafraseado) extracto:

Definición 3.1. El pequeño inductivo dimensión de $X$ es denotado $\ind(X),$ y se define como sigue:

1. Decimos que $\ind(X)=-1$ fib $X=\emptyset$.

2. $\ind(X)\le n$ si para cada punto de $x\in X$, y para cada conjunto abierto $U$ tal que $x\in U,$ existe un abierto $V$ $x\in V$ tal que $\overline V\subseteq U$ $\ind(\partial V)\le n-1$ (donde $\partial V$ es el límite de $V$).

3. $\ind(X)=n$ si $\ind(X)\le n$ pero $\ind(X)\not\leq n-1$.

4. $\ind(X)=\infty$ si para cada $n,$ $\ind(X)\not\leq n$.

Comentario 3.2. Un equivalente de la condición de la condición 2 es:

• El espacio de $X$ tiene una base $\mathcal B$ tal que para cada a $U\in\mathcal B$ tenemos $\ind(\partial U)\le n-1$.

Ahora, es fácil ver que la condición 2 implica esta alternativa de condición, pero a mí me parece que, a menos sabemos que el espacio de $X$ es regular--es decir, a menos sabemos que por cada punto de $x\in X$ y cada abierto $U$$x\in U$, hay algunos abren $V$ tal que $x\in V$ $\overline V\subseteq U$--no podemos concluir que la alternativa de la condición implica la condición 2. Estoy en lo correcto acerca de esto, o me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Por supuesto, si yo simplemente había pensado un poco más antes de publicar, me gustaría que no se han hecho la pregunta en el primer lugar. Ah, bien. Con suerte, esto ayudará a otros usuarios en el futuro.

Para distinguir entre las dos versiones de pequeña dimensión inductiva, dejaré $\ind(\cdot)$ representan el inicialmente presentado la versión, y $\ind'(\cdot)$ representan la versión alternativa.

La proposición: Dado un entero $n\ge-1$, los siguientes son equivalentes.

• $\ind(X)\le n$- lo que significa que por cada punto de $x\in X$, y para cada conjunto abierto $U$ tal que $x\in U,$ existe un abierto $V$ $x\in V$ tal que $\overline V\subseteq U$ $\ind(\partial V)\le n-1.$
• El espacio de $X$ es regular, y $\ind'(X)\le n$ - lo que significa que $X$ tiene una base $\mathcal B$ tal que para cada a $U\in\mathcal B$ tenemos $\ind'(\partial U)\le n-1$.

Prueba: vamos a proceder inductivamente en $n$, $n=-1$ caso de inmediato. Supongamos que $n$ es el menor entero mayor que o igual a $-1$ para los que aún no hemos llegado a que la proposición tiene.

Por un lado, supongamos $\ind(X)\le n,$ y dejar $$\mathcal B:=\{V\subseteq X:V\text{ open and }\ind(\partial V)\le n-1\}.$$ By inductive hypothesis, $\ind'(\partial V)\le (n-1)$ for each $V\in\mathcal B,$ and it is readily shown from $\ind(X)\le n$ that $\mathcal B$ is a basis for the topology on $X$. Also, taking any $x\in X$ and any open $U$ with $x\U,$ there is an open $V$ with $x\in V$ and $\overline V\subseteq U$, and so $$ X es regular. [Cartel nota: no me puedo creer que me perdí.]

Por otro lado, supongamos que $X$ es regular, y $\ind'(X)\le n.$ cualquier $x\in X$ y cualquier abra $U$$x\in U$. Desde $X$ es regular y $x$ se encuentra en el conjunto abierto $U,$, a continuación, hay algunos abren $W$ tal que $x\in W$$\overline W\subseteq U$. Desde $x$ se encuentra en el conjunto abierto $W$ $\mathcal B$ es una base para la topología en $X,$, entonces hay algo de $V\in\mathcal B$ tal que $x\in V\subseteq W$. A continuación,$\overline V\subseteq\overline W\subseteq U$, y desde $V\in\mathcal B,$ $\ind'(\partial V)\le n-1.$ Por hipótesis inductiva, $\ind(\partial V)\le n-1.$, con Lo que, $\ind(X)\le n$. $\Box$

Answer 2

Sí, tiene usted razón. Como sé la pequeña dimensión inductiva se define generalmente solamente para los espacios regulares. La dimensión inductiva grande semejante se define generalmente solamente para los espacios normales y la dimensión que cubre solamente para los espacios completamente regulares.

Obsérvese también que para ser cero-dimensional las condiciones son siempre equivalentes e implica regularidad.